Stammfunktion bilden / bestimmen

Was eine Stammfunktion ist und wie man sie bildet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was eine Stammfunktion ist.
• Beispiele wie man die Stammfunktion bestimmt.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu dieser Integrationsregel.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst was Integrieren überhaupt bedeutet. Wenn ihr davon noch keine Ahnung habt werft besser erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration. Ansonsten macht hier mit der Stammfunktion F(x) weiter.

Stammfunktion Erklärung

In der Differentialrechnung geht es darum Ableitungen zu finden. In den meisten Fällen hat man f(x) gegeben und bildet dann die 1. Ableitung mit f'(x), dann die zweite Ableitung mit f''(x) und bei Bedarf noch höhere Ableitungen. In der Integralrechnung geht man den umgekehrten Weg. Integriert man zum Beispiel die 1. Ableitung f'(x) erhält man wieder f(x). Zusätzlich kommt eine Konstante hinzu (dazu gleich mehr). Integriert man hingegen f(x) landet man bei der Stammfunktion F(x).

Beispiel Stammfunktion:

Wir leiten die Funktion F(x) = x² + 5 ab. Mit der Potenzregel der Ableitung wird daraus f(x) = 2x.

Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg. Wir integrieren f(x) wieder und erhalten F(x). Wie dies geht sehen wir uns weiter unten mit Regeln an. Frage: Woher kenne ich aber die 5 bei F(x) = x² + 5? Antwort: Gar nicht. Ich komme beim Integrieren von 2x auf x² mit den Integrationsregeln. Aber eine Konstante wie 5 oder 8 oder 2 dahinter kenne ich einfach nicht. Daher schreibt man einfach C.

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns Regeln zur Bildung von Stammfunktionen an.

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Stammfunktion bilden Regeln

Wie findet man die Stammfunktion? Im einfachsten Fall findet man die Stammfunktion durch Blick in eine Tabelle für Stammintegrale bzw. Grundintegrale. Ein kleiner Auszug aus so einer Tabelle sieht zum Beispiel so aus:

Auszug Tabelle Grund- und Stammintegrale:

Weiter zu:

• Liste an Grundintegralen und Stammintegralen

Stammfunktion bilden Regeln:

Es gibt verschiedene Regeln um Stammfunktionen zu bilden. Wer sich bereits für eine bestimmte Regel interessiert findet gleich eine Liste der Integrationsregeln. Wer sich noch unsicher ist welche Regel gebraucht wird findet weiter unten Erklärungen, Formeln und Beispiele.

• Potenzregel Integration
• Faktorregel Integration
• Summenregel Integration
• Partielle Integration / Produktintegration
• Substitutionsregel

Potenzregel für Stammfunktionen:

Um Potenzfunktionen zu integrieren benötigt man die Potenzregel. Die allgemeine Integrationsregel um diese zu integrieren lautet:

Mit dieser Gleichung kann zum Beispiel diese Potenz integriert werden.

Auch Potenzen mit einem Bruch aus Zahlen können damit integriert werden.

Diese Aufgaben ausgerechnet und erklärt erhaltet ihr unter

• Potenzregel Integration

Faktorregel:

Ein konstanter Faktor - also eine Zahl mit einem Multiplikationszeichen dahinter - kann bei der Integration vor das Integral gezogen werden. Dieser Faktor bleibt erhalten. Die allgemeine Gleichung lautet wie folgt:

Es folgt eine einfache Aufgabe mit der Faktorregel.

Weitere Aufgaben und Erklärungen findet ihr unter:

• Faktorregel Integration

Summenregel:

Eine Integrationsregel für Summen und Differenzen wird Summenregel genannt. Sie besagt das gliedweise integriert werden darf. Die allgemeine Gleichung sieht leider sehr unschön aus. Sie besagt jedoch, dass die einzelnen "Teile" der Funktion separat integriert werden dürfen wenn ein plus oder minus dazwischen steht.

Anwendung findet dies zum Beispiel bei dieser Berechnung:

Diese Übungen vorgerechnet und weitere Erläuterungen gibt es unter dem nächsten Link.

• Summenregel Integration

Partielle Integration:

Die partielle Integration dient dazu etwas kompliziertere Funktionen zu integrieren. Die Funktion wird dabei in eine Multiplikation aus zwei Funktionen zerlegt, sofern die Ausgangsfunktion dies hergibt. Die Gleichung lautet:

Solche Beispiele lassen sich mit der partiellen Integration bearbeiten:

Weitere Erläuterungen und vorgerechnete Aufgaben findet ihr unter:

• Partielle Integration / Produktintegration

Integration durch Substitution:

Die Integration durch Substitution ist eine Regel der Mathematik um Funktionen zu integrieren. Dabei versucht man durch eine Substitution (Ersetzen eines Ausdrucks durch eine andere Variable) eine Funktion zu erzeugen, welche man in einer Integrationstabelle findet.

Die Integration durch Substitution - auch Substitutionsregel genannt - wird zum Beispiel in diesen Fällen verwendet:

Vorgerechnete und erläuterte Aufgaben zur Integration durch Substitution (Substitutionsregel) findet ebenfalls bei uns.

• Substitutionsregel / Integration durch Substitution

Stammfunktion Aufgaben / Übungen

Um die verschiedenen Regeln zum Bilden von Stammfunktionen anwenden zu lernen haben wir eine Reihe an Übungsaufgaben erstellt. Diese Übungen sind unterteilt nach der jeweiligen Regel. Versucht dabei jeweils die Übungen zu lösen ohne mit dem Taschenrechner oder andere Hilfsmitteln nachzuhelfen.

• Potenzregel Integration Aufgaben / Übungen
• Faktorregel Integration Aufgaben / Übungen
• Summenregel Integration Aufgaben / Übungen
• Partielle Integration Aufgaben / Übungen
• Substitutionsregel Aufgaben / Übungen

Zu jeder Übung gibt es vier Möglichkeiten zu antworten von denen nur eine Antwort richtig ist. Die drei anderen Antworten sind falsch. Wer die Antwort nicht weiß kann entweder raten oder direkt zur Lösung der Aufgabe springen, welche im Normalfall die Rechnung und eine Erläuterung bietet.

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Video Stammfunktion

Fragen mit Antworten zu Integrationsregeln