Stammfunktion bilden / bestimmen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 04. März 2020 um 17:19 Uhr

Was eine Stammfunktion ist und wie man sie bildet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was eine Stammfunktion ist.
  • Beispiele wie man die Stammfunktion bestimmt.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu dieser Integrationsregel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst was Integrieren überhaupt bedeutet. Wenn ihr davon noch keine Ahnung habt werft besser erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration. Ansonsten macht hier mit der Stammfunktion F(x) weiter.


Stammfunktion Erklärung

In der Differentialrechnung geht es darum Ableitungen zu finden. In den meisten Fällen hat man f(x) gegeben und bildet dann die 1. Ableitung mit f'(x), dann die zweite Ableitung mit f''(x) und bei Bedarf noch höhere Ableitungen. In der Integralrechnung geht man den umgekehrten Weg. Integriert man zum Beispiel die 1. Ableitung f'(x) erhält man wieder f(x). Zusätzlich kommt eine Konstante hinzu (dazu gleich mehr). Integriert man hingegen f(x) landet man bei der Stammfunktion F(x).

Hinweis:

Die Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) wenn F'(x) = f(x) erfüllt ist. Es gibt zu jeder stetigen Funktion f(x) unendlich viele Stammfunktionen. Dabei unterscheiden sich die Stammfunktionen durch unterschiedliche Konstanten.

Beispiel Stammfunktion:

Wir leiten die Funktion F(x) = x2 + 5 ab. Mit der Potenzregel der Ableitung wird daraus f(x) = 2x.

Stammfunktion Beispiel 1 Ableitung

Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg. Wir integrieren f(x) wieder und erhalten F(x). Wie dies geht sehen wir uns weiter unten mit Regeln an. Frage: Woher kenne ich aber die 5 bei F(x) = x2 + 5? Antwort: Gar nicht. Ich komme beim Integrieren von 2x auf x2 mit den Integrationsregeln. Aber eine Konstante wie 5 oder 8 oder 2 dahinter kenne ich einfach nicht. Daher schreibt man einfach C.

Stammfunktion Beispiel 1 Integration

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns Regeln zur Bildung von Stammfunktionen an.




Stammfunktion bilden Regeln

Wie findet man die Stammfunktion? Im einfachsten Fall findet man die Stammfunktion durch Blick in eine Tabelle für Stammintegrale bzw. Grundintegrale. Ein kleiner Auszug aus so einer Tabelle sieht zum Beispiel so aus:

Auszug Tabelle Grund- und Stammintegrale:

Stammfunktion Tabelle

Weiter zu:

Stammfunktion bilden Regeln:

Es gibt verschiedene Regeln um Stammfunktionen zu bilden. Wer sich bereits für eine bestimmte Regel interessiert findet gleich eine Liste der Integrationsregeln. Wer sich noch unsicher ist welche Regel gebraucht wird findet weiter unten Erklärungen, Formeln und Beispiele.

Potenzregel für Stammfunktionen:

Um Potenzfunktionen zu integrieren benötigt man die Potenzregel. Die allgemeine Integrationsregel um diese zu integrieren lautet:

Potenzregel integrieren Formel

Mit dieser Gleichung kann zum Beispiel diese Potenz integriert werden.

Potenzregel Integrieren Beispiel 1 Aufgabe

Auch Potenzen mit einem Bruch aus Zahlen können damit integriert werden.

Potenzregel Beispiel 2 Aufgabe

Diese Aufgaben ausgerechnet und erklärt erhaltet ihr unter

Faktorregel:

Ein konstanter Faktor - also eine Zahl mit einem Multiplikationszeichen dahinter - kann bei der Integration vor das Integral gezogen werden. Dieser Faktor bleibt erhalten. Die allgemeine Gleichung lautet wie folgt:

Faktorregel Integration

Es folgt eine einfache Aufgabe mit der Faktorregel.

Faktorregel Beispiel 1 Lösung

Weitere Aufgaben und Erklärungen findet ihr unter:

Summenregel:

Eine Integrationsregel für Summen und Differenzen wird Summenregel genannt. Sie besagt das gliedweise integriert werden darf. Die allgemeine Gleichung sieht leider sehr unschön aus. Sie besagt jedoch, dass die einzelnen "Teile" der Funktion separat integriert werden dürfen wenn ein plus oder minus dazwischen steht.

Summenregel Integration

Anwendung findet dies zum Beispiel bei dieser Berechnung:

Summenregel Integration Beispiel 1 Aufgabe

Summenregel Integration Beispiel 2 Aufgabe

Diese Übungen vorgerechnet und weitere Erläuterungen gibt es unter dem nächsten Link.

Partielle Integration:

Die partielle Integration dient dazu etwas kompliziertere Funktionen zu integrieren. Die Funktion wird dabei in eine Multiplikation aus zwei Funktionen zerlegt, sofern die Ausgangsfunktion dies hergibt. Die Gleichung lautet:

Partielle Integration Formel

Solche Beispiele lassen sich mit der partiellen Integration bearbeiten:

Partielle Integration Beispiele

Weitere Erläuterungen und vorgerechnete Aufgaben findet ihr unter:

Integration durch Substitution:

Die Integration durch Substitution ist eine Regel der Mathematik um Funktionen zu integrieren. Dabei versucht man durch eine Substitution (Ersetzen eines Ausdrucks durch eine andere Variable) eine Funktion zu erzeugen, welche man in einer Integrationstabelle findet.

Die Integration durch Substitution - auch Substitutionsregel genannt - wird zum Beispiel in diesen Fällen verwendet:

Integration durch Substitution E-Funktion Beispiel 1 Aufgabe

Substitutionsregel Bruch Beispiel 2 Aufgabe

Vorgerechnete und erläuterte Aufgaben zur Integration durch Substitution (Substitutionsregel) findet ebenfalls bei uns.


Stammfunktion Aufgaben / Übungen

Um die verschiedenen Regeln zum Bilden von Stammfunktionen anwenden zu lernen haben wir eine Reihe an Übungsaufgaben erstellt. Diese Übungen sind unterteilt nach der jeweiligen Regel. Versucht dabei jeweils die Übungen zu lösen ohne mit dem Taschenrechner oder andere Hilfsmitteln nachzuhelfen.

Zu jeder Übung gibt es vier Möglichkeiten zu antworten von denen nur eine Antwort richtig ist. Die drei anderen Antworten sind falsch. Wer die Antwort nicht weiß kann entweder raten oder direkt zur Lösung der Aufgabe springen, welche im Normalfall die Rechnung und eine Erläuterung bietet.

Video Stammfunktion

Beispiele und Erklärungen

Wir haben noch kein Video welche sich explizit mit Stammfunktionen beschäftigt(steht auf meiner To-Do-Liste). Jedoch haben wir bereits ein Video zu den Grundlagen der Integralrechnung verfügbar. In diesem Video sehen wir uns die Grundlagen zu diesem Bereich der Analysis einmal näher an.

Dies sind die Themen Im Video:

  • Flächenberechnung: Beispiel Grundlagen
  • Untersumme einer Funktion
  • Obersumme einer Funktion
  • Richtige Lösung der Übung

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zu Integrationsregeln

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu Stammfunktionen an.


F: Wie lerne ich das Thema Stammfunktion am einfachsten?

A: Beginnt zunächst mit den Grundlagen der Integration. Dort bekommt ihr eine Erläuterung warum man das Integralrechnen überhaupt benötigt. Werft danach einen Blick auf die Integrationstabelle für einfache Funktionen (oder die auf diese Form gebracht werden können). Außerdem solltet ihr schon grob wissen auf welche Grund- und Stammintegrale man für das Integrieren von Funktionen aufbauen kann. Die Regeln zum Bilden von Stammfunktionen findet ihr im Anschluss hier in diesem Artikel.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Stammfunktionen werden meistens ab der 11. Klasse in der Schule besprochen. Dies hängt vom jeweiligen Bundesland ab und ob ihr Grund- oder Leistungskurs in Mathe belegt. In vielen Studiengängen tauchen die Integrationsregeln ebenfalls auf.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

Ableitung und Integration findet ihr auch unter Analysis.

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