Integrationsregeln Mathematik mit Beispiele

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 04. März 2020 um 17:22 Uhr

Die Integrationsregeln der Mathematik mit Beispielen findet ihr hier. Wer bereits weiß welche Regel gebraucht wird kann sich direkt dorthin begeben. Ansonsten findet ihr ein Stück weiter unten die einzelnen Regeln mit Erklärungen und Beispiele.

Übersicht Integrationsegeln:

Ihr wisst nicht welche Integrationsregel benötigt wird? Dann werfen wir nun Stück für Stück einen Blick auf die Regeln der Integration. Dabei zeige ich euch welche Funktionen bzw. Gleichungen man damit integriert.


Integrationsregeln mit Beispiele

Die grundlegenden Integrationsregeln werden mit Potenzregel, Faktorregel und Summenregel bezeichnet.

Hinweis:

Wichtig: Die meisten aufgeführten Beispiele rechnen wir auch vor. Um den Artikel nicht zu lange zu machen ist jedoch unterhalb der Beispiele ein Link auf den Hauptartikel angegeben. Dort findet ihr dies ausführlich vorgerechnet und erklärt vor.

Integrationsregel Potenzregel:

Um Potenzen zu integrieren benötigt man die Potenzregel. Die allgemeine Regel um diese zu integrieren lautet:

Potenzregel integrieren Formel

Mit dieser Formel kann zum Beispiel diese Potenz integriert werden.

Potenzregel Integrieren Beispiel 1 Aufgabe

Auch Potenzen in Form von Brüchen können damit integriert werden.

Potenzregel Beispiel 2 Aufgabe

Diese Beispiele ausgerechnet und erklärt erhaltet ihr unter

Integrationsregel Faktorregel:

Ein konstanter Faktor kann bei der Integration vor das Integral gezogen werden. Dieser bleibt erhalten. Die allgemeine Formel lautet wie folgt:

Faktorregel Integration

Es folgt ein einfaches Beispiel mit der Faktorregel (und zusätzlich der Potenzregel).

Faktorregel Beispiel 1 Lösung

Weitere Beispiele und Erklärungen findet ihr unter:

Integrationsregel Summenregel:

Summen und Differenzen dürfen gliedweise integriert werden. Die allgemeine Formel sieht leider sehr unschön aus. Sie besagt jedoch, dass die einzelnen "Teile" der Funktion einzeln integriert werden dürfen wenn ein plus oder minus dazwischen steht.

Summenregel Integration

Anwendung findet dies zum Beispiel bei diesen Aufgaben:

Summenregel Integration Beispiel 1 Aufgabe

Summenregel Integration Beispiel 2 Aufgabe

Diese Beispiele vorgerechnet und weitere Erklärungen gibt es unter dem nächsten Link.




Integrationsregeln für Produkt, Bruch, E-Funktion, ln und Wurzel

Die partielle Integration wird verwendet um ein Produkt zu integrieren. Die Substitutionsregel - auch Integration durch Substitution genannt - hilft zusätzlich dabei schwierigere Brüche, eine E-Funktionen sowie einen Logarithmus (ln) oder auch eine Wurzel zu integrieren.

Integrationsregel partielle Integration:

Die partielle Integration der Integralrechnung ist eine Regel um einige etwas kompliziertere Funktionen zu integrieren. Die Funktion wird dabei in eine Multiplikation aus zwei Funktionen zerlegt. Die Integration erfolgt durch Einsatz der Formel zur partiellen Integration.

Partielle Integration Formel

Einige typische Fälle die mit der partiellen Integration integriert werden können:

Partielle Integration Beispiele

Weitere Erklärungen und vorgerechnete Beispiele findet ihr unter:

Integrationsregel Substitutionsregel:

Die Integration durch Substitution - auch Substitutionsregel - ist eine Regel der Mathematik um Funktionen zu integrieren. Dabei versucht man durch Substitution (Ersetzen eines Ausdrucks durch eine andere Variable) eine Funktion zu erzeugen, welche man in einer Integrationstabelle findet.

Die Integration durch Substitution wird zum Beispiel in diesen Fällen verwendet:

Integration durch Substitution E-Funktion Beispiel 1 Aufgabe

Substitutionsregel Bruch Beispiel 2 Aufgabe

Vorgerechnete und erläuterte Beispiele zur Integration durch Substitution (Substitutionsregel) findet ebenfalls bei uns.


Integrationsregeln Aufgaben / Übungen

Um die verschiedenen Integrationsregeln anwenden zu lernen haben wir eine Reihe an Übungsaufgaben erstellt. Diese Aufgaben sind unterteilt nach der jeweiligen Integrationsregel. Versucht dabei jeweils die Aufgaben zu lösen ohne mit dem Taschenrechner oder anderen Hilfsmitteln nachzuhelfen.

Zu jeder Aufgabe gibt es vier Antwortmöglichkeiten von denen nur eine Antwort richtig ist. Die drei anderen Antworten sind falsch. Wer die Antwort nicht weiß kann raten oder direkt zur Lösung springen, welche im Normalfall die Rechnung und eine Erklärung bietet.

Video Grundlagen Integration

Beispiele und Erklärungen

Wir haben noch kein Video welches alle Integrationsregeln beinhaltet (steht auf meiner To-Do-Liste). Jedoch haben wir bereits ein Video zu den Grundlagen der Integralrechnung. In diesem Video sehen wir uns die Grundlagen zu diesem Bereich der Mathematik einmal näher an.

Dies sind die Themen Im Video:

  • Berechnung der Fläche: Beispiel Grundlagen
  • Untersumme
  • Obersumme
  • Richtige Lösung der Aufgabe

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zu Integrationsregeln

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu den Integrationsregeln an.


F: Wie lerne ich das Thema integrieren am einfachsten?

A: Startet zunächst mit den Grundlagen der Integration. Dort bekommt ihr erklärt warum man die Integralrechnung überhaupt benötigt. Werft danach einen kurzen Blick auf die Integrationstabelle für einfache Funktionen. Ihr braucht diese nicht auswendig zu lernen. Ihr solltet jedoch schon grob wissen auf welche Grundintegrale / Stammintegrale man für das Integrieren von Funktionen aufbauen kann. Im Anschluss lernt die Integrationsregeln in der Reihenfolge wie wir diese weiter oben zeigen.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die verschiedenen Integrationsregeln werden meistens ab der 11. Klasse bis hin zur 12. Klasse bzw. 13. Klasse in der Schule besprochen. Dies hängt vom jeweiligen Bundesland ab und ob ihr Grundkurs oder Leistungskurs in Mathematik belegt. In vielen Studiengängen tauchen die Regeln der Integration ebenfalls auf.

Grundsätzlich werden bei den Integrationsregeln zunächst die einfacheren Varianten besprochen, sprich Potenzregel Integration, Faktorregel Integration und Summenregel Integration. Zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen noch Partielle Integration / Produktintegration und Substitutionsregel. Insbesondere die beiden letzten Regeln helfen dabei Wurzelfunktionen, E-Funktionen, den natürlichen Logarithmus und Brüche zu integrieren. Man erhält hiermit im Prinzip die Umkehrung der Kettenregel der Ableitung.

F: Welche Themen der Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

Ableitung und Integration findet ihr auch unter Analysis.


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