Integrieren Grundlagen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 28. September 2019 um 13:45 Uhr

Die Grundlagen zum Integrieren lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wofür man das Integrieren benötigt.
  • Beispiele und Erklärungen zum Integrieren von Funktionen.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu den Grundlagen der Integralrechnung.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits das Ableiten von Funktionen kennt. Wer davon noch nichts weiß sollte erst einmal einen Blick in die Differentialrechnung werfen.


Integration Erklärung

Was versteht man unter dem Integrieren von Funktionen und wozu benötigt man dies? Dazu erst einmal eine kleinere Erinnerung an Ableitungen. Dort hatten wir eine Funktion, die wir als f(x) bezeichneten. Mit verschiedenen Regeln wird die Funktion abgeleitet. Die 1. Ableitung wird als f'(x) bezeichnet und gibt die Steigung der Funktion an. Leiten wir erneut ab, erhalten wir die 2. Ableitung f''(x), welche das Krümmungsverhalten der Funktion angibt.

Integrieren Grundlagen Ableitung

Die Berechnung kann jedoch auch in die andere Richtung durchgeführt werden. Die Umkehrung der Ableitung nennt man Integration. Hier geht man den entgegengesetzten Weg und man schließt von f''(x) auf f'(x) und weiter auf f(x).

Integrieren Grundlagen Integral

Liegt bereits f(x) vor und man integriert erneut, erhält man F(x). Leitet man hingegen F(x) wieder ab erhält man f(x).Dabei bezeichnet man F(x) als Stammfunktion von f(x).

Hinweis:

Die Umkehrung der Ableitung nennt man Integration. Durch das Integrieren der Funktion f(x) entsteht die Stammfunktion F(x). Die Integralrechnung dient außerdem dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können.




Integration Beispiele und Verwendung

Wozu braucht man die Integration? Dazu zwei kurze Beispiele zur Einleitung in das Thema:

Beispiel 1:

Von einer Bewegung wurde die Beschleunigung aufgezeichnet. Wie erhält man von dieser Bewegung die Geschwindigkeit und die Strecke?

Lösung:

  • Die Beschleunigung wird in der Mathematik und in der Physik mit "a" bezeichnet.
  • Integriert man die Beschleunigung erhält man die Geschwindigkeit "v".
  • Integriert man die Geschwindigkeit "v" erhält man die Strecke "s".

Ausführlich vorgestellt wird diese Anwendung im Physik-Bereich.

Beispiel 2:

Eine zweite Anwendung für das Integrieren soll hier noch gezeigt werden. Durch die Integralrechnung ist es möglich die Fläche zu berechnen, die von zwei Funktionen eingeschlossen wird. Die nächste Grafik zeigt den Verlauf der Funktionen f(x) und g(x), welche eine grüne Fläche begrenzen.

Integration Grundlagen Fläche


Aufgaben / Übungen Integrieren

Aufgabe 1: Bevor ihr euch an Rechenaufgaben zum Integrieren macht, solltet ihr eine Reihe an wichtigen Dingen erst einmal wissen. Genau hier könnt ihr euch mit unserem Test einmal selbst herausfordern.

  • Integriere ich f(x) erhalte ich was?
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Video Integrieren Grundlagen

Beispiele und Erklärungen

Mit den Grundlagen zu Integralen und entsprechendem Basiswissen befassen wir uns im nächsten Video. Dies sind die Inhalte:

  • Fläche berechnen Beispiel Grundlagen
  • Untersumme
  • Obersumme
  • Richtige Lösung

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Integrieren

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Integrieren an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Das Integrieren von Funktionen wird in der Regel nach der Differentialrechnung behandelt. Daher steht dieses Thema in der Regel erst ab der 11. Klasse (in der Oberstufe) auf dem Lehrplan. Es begleitet dann die Schüler - je nach Bundesland - im Normalfall bis ins Abitur und ist auch Bestandteil von diesem. Auch in zahlreichen Studiengängen müssen Integrale berechnet werden.

F: Wie integriert man Funktionen?

A: Ähnlich wie bei Ableitungen gib es zunächst eine Tabelle mit wichtigen Grundintegralen. In diese wirft man einen Blick sobald man eine Integrationsaufgabe zu lösen hat. Darüber hinaus gibt es wie bei den Ableitungsregeln der Differentialrechnung eine Reihe von Regeln zum Integrieren von Funktionen. Diese bezeichnet man als Integrationsregeln. All dies sehen wir uns in unserem Bereich der Integralrechnung Stück für Stück an.

F: Welche Themen zur Integralrechnung sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Integrieren Grundlagen
  • Tabelle Grundintegrale / wichtige Integrale
  • Integrationsregeln
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