Brüche mit Variablen / Unbekannten

Wie man mit Brüchen mit Variablen (Unbekannten) umgeht, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung wie man mit Brüchen rechnet, welche Variablen beinhalten.
• Beispiele zum Rechnen.
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zu Brüchen mit Unbekannten.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Hilfreich zum Verständnis von diesem Artikel ist es, wenn ihr bereits die Bruchrechnung drauf habt.

Erklärung: Brüche mit Variablen

Auch Brüche können Variablen beinhalten. Typische "Buchstaben" für diese Unbekannten in der Schule sind x, y, z oder auch a und b. Variablen können dabei bei Brüchen sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Es folgenden drei Beispiele:

Wichtig: Wenn ihr einen Bruch habt, dann müsst ihr darauf achten, dass der Nenner von diesem Bruch nicht Null werden darf. Der Grund ist einfach: Durch Null darf nicht dividiert werden. Dies behandeln wir noch etwas genauer mit der Definitionsmenge bei den Bruchtermen.

Es gibt grundsätzliche einige Gebiete bei denen Brüche mit Variablen vorkommen können. Wer schon weiß, was er / sie sucht, der kann gleich das Thema in der nächsten Liste anklicken. Ansonsten werden diese Themen weiter unten noch etwas genauer vorgestellt.

Brüche mit Variablen:

• Brüche mit Variablen können addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden. Wie man dies macht, findet ihr unter Bruchterme.
• Brüche mit Unbekannten können auch in Gleichungen vorkommen. Wer dies sucht findet es unter Bruchgleichungen.
• Brüche in Ungleichungen gibt es ebenso. Dafür haben wir noch keine Inhalte online. Sobald verfügbar werden sie hier verlinken.

Noch keine Ahnung davon? Im nächsten Abschnitt gibt es noch ein paar Beispiele.

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Beispiele Brüche mit Variablen

Sehen wir zwei Beispiele zu Variablen in Brüchen an.

Beispiel 1: Gleichungen, Brüche und Variablen

Die nächste Gleichung beinhaltet Brüche und diese weisen Variablen auf. Berechne den Definitionsbereich, löse nach der Unbekannten x auf und gibt die Lösungsmenge an.

Durch die Zahl 0 darf nicht geteilt werden! Daher sehen wir uns die Brüche links und rechts an, denn beide Brüche haben eine Unbekannte im Nenner. Um die nicht erlaubten Zahlen zu ermitteln, müssen wir damit beide Nenner gleich Null setzen und jeweils die Variable x berechnen:

Damit erhalten wir x = -1 und x = 0,5, welche wir nicht einsetzen dürfen. Was man nicht einsetzen darf schreibt man in eine Definitionsmenge. Den Definitionsbereich gibt man so an:

Im nächsten Schritt soll x berechnet werden. Dazu müssen wir die beiden Nenner beseitigen und im Anschluss nach x auflösen. Werft erst einmal einen Blick auf die Rechnung, welche im Anschluss Schritt für Schritt erklärt wird.

Um den Nenner links zu beseitigen, müssen wir mit diesem multiplizieren. Das heißt um (x + 1) im Nenner verschwinden zu lassen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit (x + 1). Links fällt dies damit weg und rechts kommt dies - mit Klammern - in den Zähler des Bruchs. Im Anschluss machen wir dies auch für (2x -1) und multiplizieren beide Seiten der Bruchgleichung mit (2x - 1). Dadurch fällt dies auf der rechten Seite raus und auf der linken Seite kommt es - ebenfalls in Klammern - in den Zähler des Bruchs. Aus einer Bruchgleichung haben wir eine Gleichung ohne Brüche gemacht.

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung aus: Links 3 · 2x = 6x und 3 · (-1) = -3. Auf der rechten Seite (-5) · x = -5x und (-5) · 1 = - 5. Danach müssen wir alles mit x auf eine Seite der Gleichung schaffen und alles ohne x auf die andere Seite der Gleichung. Dies erreichen wir, indem wir zunächst +5x auf beiden Seiten rechnen. Auf der linken Seite erhalten wir 6x + 5x = 11x und rechts vom Istgleich fallen die -5x raus. Danach rechnen wir +3 auf beiden Seiten der Gleichung wodurch die -3 links entfallen und rechts erhalten wir - 5 + 3 = -2. Um von 11 · x (kurz 11x) auf x zu kommen, müssen wir noch durch 11 dividieren.

Tipp: Wer beim Berechnen der Klammern noch Schwierigkeiten hat, kann gerne noch in Gleichungen mit Klammern rein sehen.

Wir erhalten x = -2 : 11 als Lösung der Gleichung. Diesen Wert für x finden wir nicht in der Definitionsmenge, daher haben wir hier die Lösung gefunden.

Beispiel 2: Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Hinweis: Weitere Beispiele mit allen Grundrechenarten zu Brüchen und Variablen findet ihr unter Bruchterme: Erklärung und Regeln.

Im nächsten Beispiel haben wir zwei verschiedene Nenner und sollen die beiden Brüche addieren. In diesem Fall suchen wir einen gemeinsamen Nenner. Dazu multiplizieren wir die beiden Nenner mit x² · y = x² y. Der vordere Bruch hatte im Nenner x². Daher erweitern wir nur mit y. Der hintere Bruch hatte nur y im Nenner, daher erweitern wir den Zähler mit x².

Weitere Beispiele gibt es unter Bruchterme: Erklärung und Regeln.

Aufgaben / Übungen Brüche mit Variablen

Aufgabe 1: Wie haben den folgenden Bruchterm. Welchen Wert für x dürfen wir nicht einsetzen (Definitionsmenge)?

• x = -5,5
• x = 3
• x = 8
• x = 2,5

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Video Brüche mit Variablen

Fragen mit Antworten Brüche mit Variablen