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Vollständig kürzen / Grunddarstellung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 01. Februar 2018 um 17:47 Uhr

Das vollständige Kürzen und die Grunddarstellung wird hier behandelt. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man Brüche vollständig kürzt.
  • Beispiele wie man Brüche mit Zahlen und Variablen (Buchstaben) kürzt.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr das Thema selbst üben könnt.
  • Ein Video zum vollständigen Kürzen von Brüchen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wer noch gar keine Ahnung von der Bruchrechnung hat kann gerne erst einmal in den Artikel Bruchrechnen reinsehen. Ansonsten gleich ran an die folgenden Inhalte.

Erklärung Bruch vollständig kürzen

Was versteht man unter dem vollständigen Kürzen und der Grunddarstellung? Zur Definition:

Hinweis:

Brüche werden vollständig gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl oder gleiche Variable teilt. Dies wird solange gemacht, bis es für Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr gibt. Ist kein weiteres Kürzen mehr möglich nennt man den Bruch vollständig gekürzt und dieser befindet sich in Grunddarstellung.

Mit anderen Worten: Wir kürzen einen Bruch soweit wie möglich und was am Ende rauskommt ist die Grunddarstellung. Da die meisten Menschen mit Beispielen am einfachsten Lernen, sehen wir uns dazu gleich mal einige an.

Beispiel 1: Bruch mit Zahlen vollständig kürzen

Kürze den nächsten Bruch vollständig:

Brüche vollständig kürzen Beispiel 1

Lösung:

Wer noch nicht so fit im Kürzen von Brüchen ist, der kann Stück für Stück kürzen. So könnte man hier zunächst mit 2 kürzen. Dazu teilen wir die 18 und die 30 jeweils durch 2.

Brüche vollständig kürzen 1b

Wir haben den Bruch auf 9 : 15 gekürzt. Dieser Bruch ist noch nicht vollständig gekürzt. Denn wir können hier Zähler und Nenner noch einmal durch 3 teilen ohne Rest teilen.

Bruch vollständig kürzen Beispiel 1c

Der Bruch 3 : 5 ist vollständig gekürzt. Grund: Wir können weder Zähler noch Nenner durch eine natürliche Zahl teilen ohne das dabei ein Rest entsteht.

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen. So kann man die 18 und 30 direkt durch 6 dividieren um auf 3 : 5 zu kommen. Man kann damit mit einer einzigen Rechnung den Bruch vollständig kürzen.

Bruch vollständig kürzen Beispiel 1d

Die 3 : 5 stellen den Bruch in Grunddarstellung dar.

Beispiele Vollständig kürzen / Grunddarstellung

In diesem Abschnitt geht es um weitere Beispiele zum vollständigen kürzen von Brüchen, auch mit Variablen sowie der Grunddarstellung eines Bruchs.

Beispiel 2:

Kürze den Bruch 192 : 48 vollständig.

Lösung:

Wir kürzen zunächst jeweils Zähler und Nenner immer mit 2, bis wir 12 : 3 erreichen. Der Bruch 12 : 3 ist noch nicht vollständig gekürzt. Wir können noch einmal durch 3 teilen und erreichen damit die 4 : 1. Damit ist der Bruch vollständig gekürzt und in Grunddarstellung.

Bruch vollständig kürzen Beispiel 2

Hinweis:

Ab jetzt sehen wir uns das Kürzen von Brüchen mit Variablen an. Wer davon noch keine Ahnung hat sieht bitte in Variablen: Definition und Rechnen sowie Terme vereinfachen und Potenzen.

Beispiel 3:

Kürze den folgenden Bruch mit Variablen vollständig.

Bruch vollständig kürzen Beispiel 3

Lösung:

Wir schreiben den Bruch in Zähler und Nenner zunächst ausführlich hin. Dies bedeutet, dass wir aus a2 = a · a machen und aus b2 = b · b. Dazwischen schreiben wir noch das Malzeichen. Wir erhalten:

Bruch vervollständigen Beispiel 3b

Jetzt können wir kürzen. Dies geht besonders einfach, da wir in Zähler und Nenner nur Multiplikationen haben. Zunächst kürzen wir in Zähler und Nenner ein Mal das a (im Nenner gibt es nur ein a, daher können wir auch nur ein Mal a kürzen). Auch das b können wir nur ein Mal kürzen, da dieses im Zähler nur ein Mal vorkommt.

Bruch vollständig kürzen Beispiel 3c

Der vollständige gekürzte Bruch - also der Bruch in Grunddarstellung - wird damit zu:

Bruch vollständigen kürzen Beispiel 3d

Aufgaben / Übungen Brüche kürzen

Aufgabe 1: Was ergibt dieser Bruch gekürzt?

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Video Brüche kürzen

Beispiele Brüche kürzen

Im nächsten Video wird das vollständige Kürzen von Brüchen besprochen. Es wird gezeigt, wie man einen Bruch bis zum Ende kürzen kann. Sowohl Zähler als auch Nenner werden dabei durch die gleiche Zahl oder Variable geteilt. Der Ergebnisbruch weist dann möglichst kleine Zahlen auf.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Bruch vollständig kürzen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum vollständigen Kürzen von Brüchen an.

F: Ich habe noch Probleme mit der Bruchrechnung. Wo kann ich mehr zu diesem Bereich lernen?

A: Wir haben eine ganze Reihe an Inhalten zur Bruchrechnung bereits veröffentlicht. Seht dazu einmal auf die folgende Liste:


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