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Gleichungssystem unterbestimmt, unlösbar, unendlich oder überbestimmt

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 26. Juli 2018 um 15:39 Uhr

Wir sehen uns hier Gleichungssysteme an, die unterbestimmt, überbestimmt,unlösbar oder auch unendlich viele Lösungen haben. Zum Inhalt:

  • Eine Erklärung, was bei Gleichungssystemen als Ergebnisse rauskommen kann.
  • Beispiele für Gleichungssysteme, die unter- oder überbestimmt sind oder auch unlösbar bzw. unendlich viele Lösungen.
  • Aufgaben / Übungen zu linearen Gleichungssystemen.
  • Ein Video zu (linearen) Gleichungssystemen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wir sehen uns hier einige "Spezialfälle " für lineare Gleichungssysteme an. Dazu solltet ihr aber bereits wissen, wie man solche Systeme löst. Wer davon noch keine Ahnung hat, sieht bitte erst einmal in lineare Gleichungssysteme lösen rein.

Gleichungssysteme unterbestimmt / überbestimmt

Starten wir mit einem Beispiel zu unterbestimmten Gleichungssystemen und im Anschluss zu überbestimmten Gleichungssystemen.

Gleichungssystem unterbestimmt:

Ein Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen heißt unterbestimmt. Im nächsten Beispiel gibt es 2 Gleichungen mit 3 Variablen.

Gleichungssysteme unterbestimmt Beispiel

Durch das Additionsverfahren können wir x raus werfen. Außerdem erhalten wir 3y + 3y = 6y sowie 6z - 4z = 2z und 5 + 1 = 6. Wir haben damit eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Aus diesem Grund können wir nur nach einer der beiden Variablen auflösen.

Gleichungssysteme unterbestimmt Lösung

Gleichungssystem überbestimmt Beispiel:

Ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen ist überbestimmt. Hier ein Beispiel:

Gleichungssysteme unterbestimmt Beispiel

Wie löst man dies? Ganz einfach: Man nimmt nur zwei der Gleichungen und findet mit dem Subtraktionsverfahren heraus, dass y = 6 ist und x = 4.

Gleichungssystem überbestimmt Lösung

Zur Kontrolle sollte man noch x = 4 und y = 6 in die dritte Gleichung einsetzen. Setzt man dies in 3x - 5y = -18 erhält man -18 = -18.

Gleichungssysteme unlösbar / unendlich Lösungen

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch Gleichungssysteme an, welche entweder unlösbar sind oder unendlich viele Lösungen haben.

Gleichungssystem unlösbar Beispiel:

Wir haben ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen und 3 Variablen. Wie groß sind x, y und z?

Gleichungssystem unlösbar Beispiel

Lösung:

Wir verwenden den Gauß-Algorithmus auf das Gleichungssystem an. Wer nicht weiß, wie dies funktioniert, liest bitte im Artikel der eben verlinkt wurde nach. Führt man das Gauß-Verfahren aus, dann erhält man in der letzten Zeile 0 = -21. Dies ist natürlich keine korrekte Gleichung.

Gleichungssystem unlösbar Beispiel Lösung

Mit anderen Worten: Es gibt keine Zahlen, die man für x, y und z einsetzen kann, welche alle Gleichungen korrekt löst. Dieses Gleichungssystem hat somit keine Lösung.

Gleichungssystem unendlich viele Lösungen:

Sehen wir uns einen anderen Fall für ein Gleichungssystem an. Bei diesem werdet ihr sehen, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Zunächst einmal zu den beiden Gleichungen:

Gleichungssysteme unendlich Beispiel

Wir nehmen die beiden Gleichungen und multiplizieren die erste Gleichung mit 3 und die zweite Gleichung mit 2. Wenn wir das machen erhalten wir dies:

Gleichungssysteme unendlich Beispiel Lösung

Wir sehen, dass zwei identische Gleichungen entstehen. Daher gibt es unendlich viele Möglichkeiten für x-y-Kombinationen einzusetzen. Wer es nicht glaubt, setzt einmal für x verschiedene Zahlen ein und berechnet y.

Aufgaben / Übungen Gleichungssysteme

Aufgabe 1: Wie groß sind x und y im nächsten Gleichungssystem?

Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme Einleitung

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Video Gleichungssysteme lösen

Beispiele und Erklärungen

Dies sehen wir uns zu Gleichungssystemen an:

  • Zunächst wird erklärt, was ein solches Gleichungssystem überhaupt ist.
  • Danach geht es darum, wie man so ein System löst.
  • Dazu werden Aufgaben mit zwei Unbekannten bzw. drei Unbekannten vorgerechnet.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Gleichungssysteme

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch typische Fragen mit Antworten zu Gleichungssystemen an.

F: Welche Möglichkeiten gibt es Gleichungssysteme zu lösen?

A: Zum Lösen von Gleichungssystemen haben wir zum Beispiel diese Inhalte online.

F: Welche Themen sollte ich mir noch ansehen?

A: Werft doch noch auf diese Themen rund um Gleichungen einen Blick:


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