Gleichungssystem unterbestimmt, unlösbar, unendlich oder überbestimmt

Wir sehen uns hier Gleichungssysteme an, die unterbestimmt, überbestimmt,unlösbar oder auch unendlich viele Lösungen haben. Zum Inhalt:

• Eine Erklärung, was bei Gleichungssystemen als Ergebnisse rauskommen kann.
• Beispiele für Gleichungssysteme, die unter- oder überbestimmt sind oder auch unlösbar bzw. unendlich viele Lösungen.
• Aufgaben / Übungen zu linearen Gleichungssystemen.
• Ein Video zu (linearen) Gleichungssystemen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wir sehen uns hier einige "Spezialfälle " für lineare Gleichungssysteme an. Dazu solltet ihr aber bereits wissen, wie man solche Systeme löst. Wer davon noch keine Ahnung hat, sieht bitte erst einmal in lineare Gleichungssysteme lösen rein.

Gleichungssysteme unterbestimmt / überbestimmt

Starten wir mit einem Beispiel zu unterbestimmten Gleichungssystemen und im Anschluss zu überbestimmten Gleichungssystemen.

Gleichungssystem unterbestimmt:

Ein Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen heißt unterbestimmt. Im nächsten Beispiel gibt es 2 Gleichungen mit 3 Variablen.

Durch das Additionsverfahren können wir x raus werfen. Außerdem erhalten wir 3y + 3y = 6y sowie 6z - 4z = 2z und 5 + 1 = 6. Wir haben damit eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Aus diesem Grund können wir nur nach einer der beiden Variablen auflösen.

Gleichungssystem überbestimmt Beispiel:

Ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen ist überbestimmt. Hier ein Beispiel:

Wie löst man dies? Ganz einfach: Man nimmt nur zwei der Gleichungen und findet mit dem Subtraktionsverfahren heraus, dass y = 6 ist und x = 4.

Zur Kontrolle sollte man noch x = 4 und y = 6 in die dritte Gleichung einsetzen. Setzt man dies in 3x - 5y = -18 erhält man -18 = -18.

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Gleichungssysteme unlösbar / unendlich Lösungen

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch Gleichungssysteme an, welche entweder unlösbar sind oder unendlich viele Lösungen haben.

Gleichungssystem unlösbar Beispiel:

Wir haben ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen und 3 Variablen. Wie groß sind x, y und z?

Lösung:

Wir verwenden den Gauß-Algorithmus auf das Gleichungssystem an. Wer nicht weiß, wie dies funktioniert, liest bitte im Artikel der eben verlinkt wurde nach. Führt man das Gauß-Verfahren aus, dann erhält man in der letzten Zeile 0 = 14. Dies ist natürlich keine korrekte Gleichung.

Mit anderen Worten: Es gibt keine Zahlen, die man für x, y und z einsetzen kann, welche alle Gleichungen korrekt löst. Dieses Gleichungssystem hat somit keine Lösung.

Gleichungssystem unendlich viele Lösungen:

Sehen wir uns einen anderen Fall für ein Gleichungssystem an. Bei diesem werdet ihr sehen, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Zunächst einmal zu den beiden Gleichungen:

Wir nehmen die beiden Gleichungen und multiplizieren die erste Gleichung mit 3 und die zweite Gleichung mit 2. Wenn wir das machen erhalten wir dies:

Wir sehen, dass zwei identische Gleichungen entstehen. Daher gibt es unendlich viele Möglichkeiten für x-y-Kombinationen einzusetzen. Wer es nicht glaubt, setzt einmal für x verschiedene Zahlen ein und berechnet y.

Aufgaben / Übungen Gleichungssysteme

Aufgabe 1: Wie groß sind x und y im nächsten Gleichungssystem?

• x = 4 und y = 2
• x = 1 und y = 5
• x = 2 und y = 4
• x = 3 und y = 3

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Video Gleichungssysteme lösen

Fragen mit Antworten Gleichungssysteme