Produktregel Ableitung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 30. April 2019 um 22:20 Uhr

Die Produktregel für Ableitungen lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was die Produktregel ist.
  • Beispiele wie man diese Ableitungsregel anwendet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Ableitungsregeln.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Ableitungsregeln um Funktionen oder Gleichungen abzuleiten. Bevor ihr euch die Produktregel hier anseht, solltet ihr die Grundlagen der Ableitung kennen sowie die Potenzregel.


Produktregel Erklärung

Es gibt verschiedene Regeln in der Mathematik um Funktionen bzw. Gleichungen abzuleiten. Eine dieser Ableitungsregeln ist die Produktregel.

Hinweis:

Die Produktregel dient dazu Funktionen oder Gleichungen abzuleiten, welche in der Form y = u(x) · v(x) vorliegen. Dazu müssen sowohl u(x) als auch v(x) abgeleitet werden. In Kurzschreibweise ausgedrückt erhaltet ihr die Ableitung wie folgt:

Produktregel Ableitung Formel

Beispiel 1: Mit Produktregel ableiten

Die nächste Gleichung soll mit der Produktregel abgeleitet werden. Wie lautet die Ableitung?

Produktregel Ableitung Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Die Funktion (Gleichung) ist ein Produkt aus zwei Faktoren, daher unterteilen wir diese in u und v. Mit der Potenzregel leiten wir beide Teile ab und erhalten dadurch u' und v'. Wir nehmen die allgemeine Gleichung für die Ableitung von weiter oben und setzen u, u', v und v' ein. Um die Berechnung nicht zu sehr in die Länge zu ziehen, wurde am Ende auf die Vereinfachung verzichtet.

Produktregel Ableitung Beispiel 1 Lösung

Tipp: Alles was eingesetzt wird mit Klammern einsetzen. Denn schließlich muss der komplette Ausdruck multipliziert werden.




Produktregel Beispiele

In diesem Abschnitt sehen wir uns weitere Beispiele zur Produktregel an, auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln.

Beispiel 2: Produktregel, Kettenregel und E-Funktion

Die folgende Funkion soll abgeleitet werden. Wie lautet die erste Ableitung?

Produktregel für Ableitung Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Wir haben hier ein Produkt aus (t - x) und etx. Wir setzen u = t - x und v = etx. Beides müssen wir ableiten. Da t eine Konstante ist fliegt diese raus bei der Ableitung und aus -x wird -1. Wer dabei noch unsicher ist wirft einen Blick auf die Potenzregel. Für die E-Funktion etx benötigen wir jetzt nicht die Produktregel, sondern die Kettenregel. Dazu leiten wir den Exponenten ab und erhalten für die Ableitung des Exponenten einfach nur t. Dies wird multipliziert mit etx. Durch diese Berechnungen erhalten wir u' = -1 und v' = t·etx. Im Anschluss nehmen wir die allgemeine Gleichung für Ableitungen und setzen u, u', v und v' ein.

Produktregel mit Ableitung Beispiel 2 Lösung

Beispiel 3: Dreifache Produktregel mit E-Funktion

In diesem Beispiel kommt neben einer E-Funktion noch ein Sinus vor und eine Potenz. Wie lautet die erste Ableitung?

Produktregel Ableitung Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Es gibt auch die dreifache Produktregel. Diese setzt man ein, wenn man nicht nur ein Produkt hat, sondern gleich zwei Multiplikationen vorkommen. Wir haben drei Faktoren. Dazu unterteilen wir die Funktion in drei Teile mit u, v und w. Für die Ableitung von 5x3 wird die Potenzregel benötigt. Die Ableitung von sinx ist einfach cosx und die E-Funktion ex abgeleitet bleibt ex. Im Anschluss nehmen wir die dreifache Produktregel (Siehe im Rechenweg unten) und setzen alles ein.

Produktregel Ableitung Beispiel 3 Lösung


Aufgaben / Übungen Produktregel

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen kurz eine Frage:

  • Wozu dient die Produktregel?
Überspringen »


Du hast 0 von 3 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Produktregel

Beispiele und Erklärungen

Dies sehen wir uns im nächsten Video an:

  • Was die Produktregel ist und wozu man diese braucht.
  • Beispiele für den Einsatz der Produktregel.
  • Was die Quotientenregel ist und wozu man diese braucht.
  • Beispiele für den Einsatz der Quotientenregel.

Kurz gesagt: Die beiden Ableitungsregeln Produktregel und Quotientenregel werden vorgestellt.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Produktregel

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Produktregel als Ableitungsregel an.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Produktregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

F: Wann wird die Produktregel behandelt?

A: Die Produktregel wird meistens ab der 11. Klasse in der Schule behandelt und kommt oft im Abitur vor. Ebenso wird in zahlreichen verschiedenen Studiengängen die Produktregel behandelt. Dies sind primär Studiengänge mit Technik, Naturwissenschaften und Wirtschaft.

F: Welche Themen gibt es noch in der Oberstufe?

A: Neben der Ableitungsrechnung steht die Integralrechnung auf dem Plan der Oberstufe und Abitur. Darüber hinaus steht die analytische Geometrie und die Wahrscheinlichkeitsrechnung / Stochastik / Statistik auf dem Lehrplan.

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