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Inverse Funktion

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 17. März 2019 um 11:40 Uhr

Was eine inverse Funktion ist und wie man sie rechnerisch oder grafisch erhält, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man eine inverse Funktion findet.
  • Beispiele für rechnen und zeichnen von inversen Funktionen.
  • Aufgaben / Übungen um das Gebiet zu üben.
  • Ein Video zur inversen Funktion.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier die inverse Funktion an. Je nachdem wie tief ihr in das Gebiet einsteigen wollt, solltet ihr wissen, wie man eine Gleichung auflöst oder was eine quadratische Gleichung bzw. Bruchgleichung ist. Wer noch keine Ahnung hat kann gerne in diese Inhalte rein sehen. Ansonsten ran an die inverse Funktion.

Inverse Funktion: Erklärung und grafisch

Klären wir zunächst, was eine inverse Funktion - auch Umkehrfunktion genannt - ist.

Hinweis:

Die inverse Funktion ist die Funktion, die man erhält, wenn man eine Funktion an der Geraden x = y spiegelt.

Bevor wir rechnen zum Verständnis erst einmal ein zeichnerisches Beispiel.

Beispiel 1: Inverse Funktion zeichnerisch

Die nächste Grafik zeigt ein Koordinatensystem mit x-Achse und y-Achse. In orange wurde eine Funktion eingezeichnet, zu welcher die inverse Funktion gefunden werden soll.

Inverse Funktion grafisch Beispiel 1a

Lösung:

Wir zeichnen eine Gerade x = y in das Koordinatensystem in grün ein. Die orangene Funktion spiegeln wir an der grünen Gerade (x = y) und erhalten dadurch die dunkelblaue Funktion. Der Abstand von der orangenen Funktion und blauen Funktion zur grünen Gerade ist dabei stets gleich. Wer nicht mehr weiß wie man etwas spiegelt, sieht bitte noch einmal in Spiegelbilder / Spiegelachse rein.

Inverse Funktion Beispiel grafisch 1B

Inverse Funktion Beispiel rechnen

Wie kann man die inverse Funktion berechnen? Dazu sehen wir uns zwei Beispiele an. Zuvor die Vorgehensweise und Hinweise.

Inverse Funktion Vorgehensweise

  • Wir lösen die Gleichung y = f(x) nach x auf.
  • Wir vertauschen die Variablen x und y.

Inverse Funktion Voraussetzungen / Hinweise:

  • Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie streng monoton fallend oder steigend ist.
  • Bei der inversen Funktion werden Definitionsbereich und Wertebereich vertauscht.
  • Die inverse Funktion wird oft mit f-1 bezeichnet.

Beispiel 2: Lineare Funktion

Die lineare Gleichung / Funktion y = 2x + 1 soll invertiert werden. Wir lautet diese?

Lösung:

Die Funktion ist streng monoton wachsend. Daher ist sie invertierbar. Wir lösen die Funktion nach x auf und vertauschen x und y.

Inverse Funktion Beispiel 2 lineare Funktion

Beispiel 3: Inverse Funktion Bruch

Im nächsten Beispiel ist eine inverse Funktion mit Bruch zu bilden. Wie lautet diese?

Inverse Funktion Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Wir multiplizieren die Gleichung auf beiden Seiten mit dem Nenner (x + 4), damit dieser auf die linke Seite der Gleichung kommt. Die Klammer auf der linken Seite wird ausmultipliziert. Im Anschluss wird umgeformt und x im Anschluss ausgeklammert. Die Gleichung wird nach x umgestellt und im Anschluss werden zur Bildung der inversen Funktion x und y vertauscht.

Inverse Funktion Beispiel 3 Lösung

Aufgaben / Übungen inverse Funktion

Aufgabe 1:

Bevor wir an Aufgaben gehen.

Frage: Wie erhält man die Umkehrfunktion?

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Du hast 0 von 3 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video inverse Funktion

Erklärung und Beispiele

Dies erhaltet ihr im nächsten Video:

  • Eine Erklärung was eine Umkehrfunktion (inverse Funktion) ist.
  • Grafische Erklärung für die Umkehrfunktion.
  • Beispiele in Form von Aufgaben werden vorgestellt.
  • Es wird gezeigt wie man die Umkehrfunktion ableiten kann.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten inverse Funktion

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur inversen Funktion an.

F: Gibt es auch inverse Funktionen von quadratischen Funktionen?

A: Bei quadratischen Funktionen bzw. quadratischen Gleichungen gibt es eine Schwierigkeit. Eine Voraussetzung für die inverse Funktion lautet: Eine Funktion ist umkehrbar wenn sie streng monoton fallend oder steigend ist. Dies ist bei einer quadratischen Funktion aber nicht der Fall. Daher kann man diese nur Abschnittsweise umkehren.

F: Wann wird dieses Thema im Mathematik-Unterricht behandelt?

A: Die inverse Funktion wird in der Regel ab der 10. Klasse in der Schul-Mathematik behandelt.

F: Welche Gebiete sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Werft doch noch einen Blick auf diese Gebiete:


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