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Linearfaktordarstellung / Linearfaktorschreibweise

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 30. Dezember 2018 um 15:43 Uhr

Was man unter einer Linearfaktordarstellung bzw. Linearfaktorschreibweise versteht, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was was man unter der Linearfaktordarstellung versteht.
  • Beispiele um eine Funktion in die Linearfaktorschreibweise zu bringen.
  • Übungen zu diesem Thema.
  • Ein Video zu diesem Gebiet.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich die Linearfaktorschreibweise an. Hilfreich beim Verständnis ist es, wenn ihr bereits wisst wie die PQ-Formel funktioniert sowie die Polynomdivision. Wer davon noch keine Ahnung hat und in den nächsten Abschnitten Verständnisprobleme bekommt, sollte da einmal rein sehen.

Linearfaktordarstellung Erklärung

Wofür braucht man die Linearfaktorschreibweise überhaupt?

Hinweis:

Die Linearfaktordarstellung bzw. Linearfaktorschreibweise ist eine andere Form eine Polynomfunktion aufzuschreiben. Mit einer Darstellung in Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen der Funktion sofort ablesen. Man bezeichnet diese Form auch als Produktdarstellung.

Was bedeutet dies? Kurz die allgemeine Form, dann ein Beispiel. In den meisten Fällen liegt eine Funktion in Form einer Summe vor:

Linearfaktordarstellung Allgemein Ausgangsfunktion

Für die Linearfaktordarstellung - auch Linearfaktorschreibweise - müssen wir diese Funktion auf diese Schreibweise bringen:

Linearfaktordarstellung Allgemein in Produktdarstellung

Das x - x1 oder auch x -x2 bezeichnet man als Linearfaktoren. Diese Produktdarstellung mit den Klammern wird auch als Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren bezeichnet.

Beispiel für Linearfaktordarstellung:

Die allgemeine Darstellung wie eben gezeigt ist für viele recht schwierig zu verstehen. Daher kurz ein Beispiel. Wir haben eine quadratische Funktion in Polynomschreibweise:

Linearfaktordarstellung Einleitung 1

In der Linearfaktordarstellung wäre diese Gleichung wie folgt zu schreiben:

Linearfaktordarstellung Einleitung Teil 2

Wie kommt man selbst dazu eine Funktion bzw. Gleichung in die Linearfaktorschreibweise umzuformen? Dazu sehen wir uns Beispiele im nächsten Abschnitt an.

Beispiel Linearfaktordarstellung / Linearfaktorschreibweise

In diesem Abschnitt sehen wir uns Beispiele für die Linearfaktorschreibweise für quadratische Funktionen (Gleichungen) an sowie für eine kubische Funktion 3. Grades (ganzrationale Funktion) und eine gebrochenrationale Funktion.

Beispiel 1: Quadratische Funktion / Gleichung

Wir haben eine quadratische Funktion bzw. eine quadratische Gleichung in der folgenden Form. Bringe diese in Linearfaktordarstellung.

Linearfaktordarstellung Beispiel 1 quadratische Funktion Aufgabe

Lösung:

Wir setzen diese Funktion gleich Null. Mit der PQ-Formel lösen wir die quadratische Funktion um x1 und x2 zu berechnen.

Linearfaktordarstellung Beispiel 1 quadratische Funktion Rechnung

Wir erhalten x1 = -1 und x2 = -2. Damit eine Klammer Null wird muss entweder -1 oder -2 für x eingesetzt werden. Daher erhalten wir als Linearfaktorschreibweise (x + 1)(x + 2).

Linearfaktordarstellung Beispiel 1 quadratische Funktion in Linearfaktorschreibweise

Beispiel 2: Ganzrationale Funktion (Kubische Funktion)

Im zweiten Beispiel soll die Linearfaktorschreibweise für eine ganzrationale Funktion gefunden werden. Es handelt sich dabei um eine Funktion 3. Grades, sprich eine kubische Funktion. Bringe die folgende Gleichung in die Linearfaktordarstellung.

Linearfaktorzerlegung Beispiel 2 ganzrationale Funktion Aufgabe

Lösung:

Um auf die Linearfaktorschreibweise zu kommen muss zunächst eine Polynomdivision durchgeführt werden. Dazu fehlt uns zunächst eine erste Nullstelle. Diese finden wir durch Raten von x = 1. Wie dies geht lernt ihr unter Erste Nullstelle finden (Polynomdivision). Wer mit der folgenden Rechnung zu kämpfen hat sieht bitte rein unter Polynomdivision Erklärung.

Linearfaktordarstellung Beispiel 2 ganzrationale Funktion Polynomdivision

Mit (x -1) kennen wir bereits den ersten Linearfaktor von der Polynomdivision her. Übrig geblieben ist noch x2 -5x -6. Wir wenden darauf die PQ-Formel an (Rechnung spare ich mir hier damit der Artikel nicht zu lange wird) und erhalten x = +6 und x = -1. Die Linearfaktorschreibweise sieht dadurch wie folgt aus:

Linearfaktordarstellung Beispiel 2 Lösung

Beispiel 3: Gebrochenrationale Funktion

Im dritten Beispiel liegt eine gebrochenrationale Funktion vor. Der Zähler entspricht der Polynomfunktion aus Beispiel 1. Im Nenner liegt die quadratische Funktion aus Beispiel 2 vor.

Linearfaktordarstellung Beispiel 3 Gebrochenrationale Funktion Aufgabe

Lösung:

Für Zähler und Nenner soll soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden. Im Zähler machen wir dies wie in Beispiel 1 dargestellt mit Polynomdivision und PQ-Formel und erhalten (x -1)(x - 6)(x + 1). Im Nenner wenden wir die PQ-Formel an wie in Beispiel 2 und erhalten (x + 1)(x + 2). Im Anschluss kürzen wir (x + 1) in Zähler und Nenner.

Linearfaktordarstellung Beispiel 3 gebrochenrationale Funktion Lösung

Aufgaben / Übungen Linearfaktorschreibweise

Aufgabe 1:

  • Gegeben sei f(x) = x2 - 2x - 8.
  • Es soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden.
  • Wie lautet die Produktdarstellung?
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Video Linearfaktoren

Erklärung und Beispiele

In diesem Video wird die Linearfaktorzerlegung gezeigt. Dadurch wir die Produktdarstellung erreicht. Folgende Vorgehensweise wird angewendet:

  • Nullstellen suchen
  • Linearfaktoren aufschreiben
  • In Produktdarstellung bringen
  • Eventuell Probe zur Kontrolle

Dies wird erklärt und es werden Beispiele vorgerechnet.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zur Linearfaktorschreibweise

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Linearfaktorschreibweise an.

F: Welche Verfahren sollte ich kennen um Nullstellen zu berechnen?

A: Soll die Linearfaktorzerlegung für eine quadratische Funktion durchgeführt werden, so gibt es zwei Verfahren, die man kennen sollte. Dies ist zunächst einmal die PQ-Formel. Als Alternative kann die ABC-Formel eingesetzt werden, welche auch als Mitternachtsformel bezeichnet wird. Erreichen die Funktionen den 3. Grad oder höher wird die Polynomdivision benötigt. Wer diese lernen möchte wirft einen Blick in die Polynomdivision.

F: Wo findet die Linearfaktorschreibweise noch Anwendung?

A: Auch Parabeln und ihre Schreibweise stehen im Zusammenhang mit der Linearfaktordarstellung. Ebenso ist die Normalform einer Gleichung bzw. Parabel interessant. Mehr zu diesem Thema findet ihr unter Parabel und Scheitelpunktform.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Werft noch einen Blick auf diese Gebiete:


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