Linearfaktordarstellung / Linearfaktorschreibweise

Was man unter einer Linearfaktordarstellung bzw. Linearfaktorschreibweise versteht, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

• Eine Erklärung, was was man unter der Linearfaktordarstellung versteht.
• Beispiele um eine Funktion in die Linearfaktorschreibweise zu bringen.
• Übungen zu diesem Thema.
• Ein Video zu diesem Gebiet.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich die Linearfaktorschreibweise an. Hilfreich beim Verständnis ist es, wenn ihr bereits wisst wie die PQ-Formel funktioniert sowie die Polynomdivision. Wer davon noch keine Ahnung hat und in den nächsten Abschnitten Verständnisprobleme bekommt, sollte da einmal rein sehen.

Linearfaktordarstellung Erklärung

Wofür braucht man die Linearfaktorschreibweise überhaupt?

Was bedeutet dies? Kurz die allgemeine Form, dann ein Beispiel. In den meisten Fällen liegt eine Funktion in Form einer Summe vor:

Für die Linearfaktordarstellung - auch Linearfaktorschreibweise - müssen wir diese Funktion auf diese Schreibweise bringen:

Das x - x₁ oder auch x -x₂ bezeichnet man als Linearfaktoren. Diese Produktdarstellung mit den Klammern wird auch als Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren bezeichnet.

Beispiel für Linearfaktordarstellung:

Die allgemeine Darstellung wie eben gezeigt ist für viele recht schwierig zu verstehen. Daher kurz ein Beispiel. Wir haben eine quadratische Funktion in Polynomschreibweise:

In der Linearfaktordarstellung wäre diese Gleichung wie folgt zu schreiben:

Wie kommt man selbst dazu eine Funktion bzw. Gleichung in die Linearfaktorschreibweise umzuformen? Dazu sehen wir uns Beispiele im nächsten Abschnitt an.

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Beispiel Linearfaktordarstellung / Linearfaktorschreibweise

In diesem Abschnitt sehen wir uns Beispiele für die Linearfaktorschreibweise für quadratische Funktionen (Gleichungen) an sowie für eine kubische Funktion 3. Grades (ganzrationale Funktion) und eine gebrochenrationale Funktion.

Beispiel 1: Quadratische Funktion / Gleichung

Wir haben eine quadratische Funktion bzw. eine quadratische Gleichung in der folgenden Form. Bringe diese in Linearfaktordarstellung.

Lösung:

Wir setzen diese Funktion gleich Null. Mit der PQ-Formel lösen wir die quadratische Funktion um x₁ und x₂ zu berechnen.

Wir erhalten x₁ = -1 und x₂ = -2. Damit eine Klammer Null wird muss entweder -1 oder -2 für x eingesetzt werden. Daher erhalten wir als Linearfaktorschreibweise (x + 1)(x + 2).

Beispiel 2: Ganzrationale Funktion (Kubische Funktion)

Im zweiten Beispiel soll die Linearfaktorschreibweise für eine ganzrationale Funktion gefunden werden. Es handelt sich dabei um eine Funktion 3. Grades, sprich eine kubische Funktion. Bringe die folgende Gleichung in die Linearfaktordarstellung.

Lösung:

Um auf die Linearfaktorschreibweise zu kommen muss zunächst eine Polynomdivision durchgeführt werden. Dazu fehlt uns zunächst eine erste Nullstelle. Diese finden wir durch Raten von x = 1. Wie dies geht lernt ihr unter Erste Nullstelle finden (Polynomdivision). Wer mit der folgenden Rechnung zu kämpfen hat sieht bitte rein unter Polynomdivision Erklärung.

Mit (x -1) kennen wir bereits den ersten Linearfaktor von der Polynomdivision her. Übrig geblieben ist noch x² -5x -6. Wir wenden darauf die PQ-Formel an (Rechnung spare ich mir hier damit der Artikel nicht zu lange wird) und erhalten x = +6 und x = -1. Die Linearfaktorschreibweise sieht dadurch wie folgt aus:

Beispiel 3: Gebrochenrationale Funktion

Im dritten Beispiel liegt eine gebrochenrationale Funktion vor. Der Zähler entspricht der Polynomfunktion aus Beispiel 1. Im Nenner liegt die quadratische Funktion aus Beispiel 2 vor.

Lösung:

Für Zähler und Nenner soll soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden. Im Zähler machen wir dies wie in Beispiel 1 dargestellt mit Polynomdivision und PQ-Formel und erhalten (x -1)(x - 6)(x + 1). Im Nenner wenden wir die PQ-Formel an wie in Beispiel 2 und erhalten (x + 1)(x + 2). Im Anschluss kürzen wir (x + 1) in Zähler und Nenner.

Aufgaben / Übungen Linearfaktorschreibweise

Aufgabe 1:

• Gegeben sei f(x) = x² - 2x - 8.
• Es soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden.
• Wie lautet die Produktdarstellung?

• ( x - 4 ) ( x + 2 )
• ( x + 4 ) ( x - 2 )
• ( x - 4 ) ( x - 2 )
• ( x - 5 ) ( x + 3 )

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Video Linearfaktoren

Fragen mit Antworten zur Linearfaktorschreibweise