Azubiworld partner

Linearfaktorzerlegung, Linearfaktor und Linearfaktorform

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 02. Januar 2019 um 21:47 Uhr

Was man unter einer Linearfaktorzerlegung versteht, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was was man unter der Linearfaktorzerlegung versteht.
  • Beispiele um eine Zerlegung in Linearfaktoren zu zeigen.
  • Übungen zur Linearfaktorzerlegung.
  • Ein Video zu diesem Gebiet.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Hinweis: Wir sehen uns hier gleich die Linearfaktorzerlegung an. Es sollte euch helfen, wenn ihr bereits wisst, wie die PQ-Formel funktioniert sowie die Polynomdivision. Noch keine Ahnung davon? Werft erst einen Blick in die beiden genannten Themen zum Lösen von quadratischen Gleichungen und macht dann hier weiter.

Linearfaktorzerlegung Erklärung

Wozu braucht man die Linearfaktorzerlegung?

Hinweis:

Die Linearfaktorzerlegung ist eine andere Darstellung für eine Polynomfunktion. Mit einer Schreibweise in Linearfaktorform lassen sich die Nullstellen der Gleichung sofort ablesen. Man bezeichnet diese Form auch als Produktschreibweise.

In den meisten Fällen liegt eine Funktion in dieser Schreibweise vor.

Linearfaktorzerlegung Allgemein Polynomform

Für die Linearfaktorzerlegung muss die Funktion in diese Schreibweise gebracht werden:

Linearfaktorzerlegung Allgemein 2 Produkt

Das x - x1 oder auch x -x2 bezeichnet man als einzelne Linearfaktoren.

Beispiel für Linearfaktorzerlegung:

Dies habt ihr noch nicht verstanden? Sehen wir uns ein Beispiel für die Zerlegung in Linearfaktoren an.

Linearfaktorzerlegung Einleitung Beispiel Polynomform

In der Linearfaktordarstellung wäre diese Gleichung wie folgt zu schreiben:

Linearfaktorzerlegung Beispiel Produkte

Wie kommt man von der Polynomschreibweise zur Linearfaktorzerlegung?

Beispiel Linearfaktorzerlegung

Sehen wir uns noch Beispiele für die Linearfaktorzerlegung für eine quadratische Funktion (Gleichung), eine kubische Funktion 3. Grades (ganzrationale Funktion) und eine gebrochenrationale Funktion an.

Beispiel 1: Linearfaktorform quadratische Funktion

Geben Sie die Linearfaktorzerlegung für die folgende Gleichung an.

Linearfaktorzerlegung Beispiel 1 Aufgabe quadratische Funktion / Gleichung

Lösung:

Wir setzen diese Gleichung gleich Null. Mit der PQ-Formel lösen wir die quadratische Gleichung um x1 und x2 zu berechnen.

Linearfaktorzerlegung Beispiel 1 Rechnung quadratische Funktion / Gleichung

Als Lösung erhalten wir x1 = -1 und x2 = -2. Damit eine der Klammern Null wird muss entweder -1 oder -2 für x eingesetzt werden. Daher erhalten wir als Linearfaktorzerlegung (x + 1)(x + 2).

Linearfaktorzerlegung Beispiel 1 Lösung quadratische Funktion / Gleichung

Beispiel 2: Ganzrationale Funktion (Kubische Funktion)

Im zweiten Beispiel soll die Linearfaktorform für eine ganzrationale Funktion gefunden werden. Es handelt sich dabei um eine Gleichung dritten Grades, sprich eine kubische Gleichung. Forme so um, dass die Gleichung in Linearfaktoren zerlegt wird. Um auf die Linearfaktorform zu kommen muss zunächst eine Polynomdivision gerechnet werden.

Linearfaktorzerlegung Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Dazu fehlt uns zunächst eine erste Nullstelle für die Berechnung. Diese finden wir durch Raten von x = 1. Wie dies geht lernt ihr im Artikel Erste Nullstelle finden (Polynomdivision). Wer mit der folgenden Berechnung zu kämpfen hat sieht bitte rein unter Polynomdivision Erklärung.

Linearfaktorzerlegung Beispiel 2 Polynomdivision bei ganzrationaler Funktion

Mit (x -1) kennen wir bereits den ersten Linearfaktor vom Raten der ersten Nullstelle. Übrig geblieben ist noch x2 -5x -6. Wir wenden darauf die PQ-Formel an und erhalten x = +6 und x = -1. Die Linearfaktorform sieht dadurch wie folgt aus:

Linearfaktorzerlegung Beispiel 2 Lösung Kubische Funktion / Gleichung

Beispiel 3: Gebrochenrationale Gleichung

Im dritten Beispiel liegt eine gebrochenrationale Gleichung vor. Der Zähler entspricht der Polynomfunktion aus Beispiel 1. Im Nenner liegt die quadratische Gleichung aus Beispiel 2 vor.

Linearfaktorzerlegung Beispiel 3 Aufgabe gebrochenrationale Funktion / Gleichung

Lösung:

Für Zähler und Nenner soll soll eine Linearfaktorzerlegung durchgeführt werden. Im Zähler des Bruchs machen wir dies wie in Beispiel 1 dargestellt mit Polynomdivision und PQ-Formel und erhalten (x -1)(x - 6)(x + 1). Im Nenner des Bruchs wenden wir die PQ-Formel an wie in Beispiel 2 und erhalten (x + 1)(x + 2). Als Letztes kürzen wir (x + 1) in Zähler und Nenner des Bruchs.


Linearfaktorzerlegung Beispiel 3 Lösung gebrochenrationale Funktion / Gleichung

Aufgaben / Übungen Linearfaktorzerlegung

Aufgabe 1:

  • Gegeben sei f(x) = x2 - 2x - 8.
  • Es soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden.
  • Wie lautet die Produktdarstellung?
Überspringen »


Du hast 0 von 4 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Linearfaktorform

Erklärung und Beispiele

In diesem Video wird die Linearfaktorform gezeigt. Dadurch wir die Linearfaktorzerlegung erreicht. Folgende Vorgehensweise wird angewendet:

  • Die Nullstellen der Funktionen suchen
  • Linearfaktoren einzeln aufschreiben
  • In Linearfaktordarstellung bringen
  • Eventuell Probe zur Kontrolle der Zerlegung.

Dies wird erklärt und es werden Aufgaben vorgerechnet.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zur Linearfaktorzerlegung

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Linearfaktorzerlegung, Linearfaktor und Linearfaktorform an.

F: Welche Verfahren sollte ich für die Linearfaktorzerlegung kennen?

A: Soll eine Zerlegung in Linearfaktoren für eine quadratische Funktion durchgeführt werden, so gibt es zwei Rechenverfahren, die man kennen sollte. Dies ist zunächst einmal die PQ-Formel. Als Alternative zur PQ-Formel kann die ABC-Formel eingesetzt werden, welche auch als Mitternachtsformel bezeichnet wird. Erreichen die Gleichungen den 3. Grad oder höher wird die Polynomdivision benötigt. Wer diese lernen möchte wirft einen Blick in die Polynomdivision für das Auffinden von Nullstellen.

F: Wo findet die Linearfaktorform noch Anwendung?

A: Auch Parabeln und ihre Schreibweise stehen im Zusammenhang mit der Linearfaktorzerlegung. Ebenso ist die Normalform einer Funktion bzw. Parabel interessant. Mehr zu diesem Thema findet ihr unter Parabel und Scheitelpunktform.

F: Was sollte ich mir noch ansehen?

A: Weitere Themen rund um Gleichungen sind diese:


Neue Artikel

451 Gäste online