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Satzgruppe des Pythagoras

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 27. November 2018 um 17:01 Uhr

Was man unter der Satzgruppe des Pythagoras versteht, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was man unter der Satzgruppe des Pythagoras versteht.
  • Beispiele und Formeln mit Zahlen und Einheiten werden vorgestellt.
  • Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Video rund um die Satzgruppe des Pythagoras.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Hinweis: Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören drei Gebiete. Wer sich diese einzeln ansehen möchte wirft bitte direkt einen Blick in Satz des Pythagoras, Kathetensatz und Höhensatz.

Satzgruppe des Pythagoras

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, umfasst die Satzgruppe des Pythagoras diese drei Sätze:

  • Satz des Pythagoras
  • Kathetensatz des Euklid
  • Höhensatz des Euklid

Wir werfen hier einen kurzen Blick auf diese drei Themen.

Satz des Pythagoras:

Der Satz des Pythagoras ist ein ganz typisches Thema aus dem Bereich der Geometrie. Wichtig ist erst einmal zu verstehen, wofür man den Satz des Pythagoras überhaupt braucht:

Hinweis:

Ein Dreieck weist drei Seiten auf. Kennt man die Länge von zwei dieser Seiten, kann man damit die Länge der dritten Seite ausrechnen. Ganz wichtig: Das Dreieck muss einen rechten Winkel aufweisen.

Die nächste Grafik zeigt ein Dreieck mit rechtem Winkel, an welchem man den Satz des Pythagoras anwenden kann:

Satzgruppe des Pythagoras Dreieck

Der 90 Grad Winkel befindet sich in der linken, unteren Ecke. An den rechten Winkel Grenzen die Seiten a und b an, welche man als Katheten bezeichnet. Die längste Seite ist c und wird Hypotenuse genannt. Folgende Gleichung wird im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras am häufigsten verwendet:

Satzgruppe des Pythagoras Formel / Gleichung

Beispiel 1: Satz des Pythagoras

Wir haben das folgende Dreieck. Berechne die Länge der Hypotenuse c.

Satzgruppe des Pythagoras Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Die Katheten des Dreiecks sind 4 cm und 5 cm lang. Wir stellen die Gleichung vom Satz des Pythagoras nach c um und setzen diese beiden Angaben ein. Wir berechnen die Quadrate und beachten dabei, dass sowohl die Zahlen als auch die Einheiten quadriert werden müssen. Wir fassen zusammen und ziehen die Wurzel. Für die Länge der Hypotenuse "c" erhalten wir etwa 6,4 cm.

Satzgruppe des Pythagoras Beispiel 1 Lösung c

Weitere Erklärungen und Beispiele findet ihr unter Satz des Pythagoras.

Satzgruppe Pythagoras: Höhensatz und Kathetensatz

Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören auch der Höhensatz und der Kathetensatz. Starten wir mit dem Höhensatz. Auch dieser wird an einem rechtwinkligen Dreieck angewendet, welches jedoch eine Höhe h aufweist.

Satzgruppe des Pythagoras: Höhensatz

Die Formel zum Höhensatz stellt den Zusammenhang zwischen Höhe und den Achsenabschnitten p und q her.

Höhensatz Formel

Diese Formel kann man natürlich direkt nach h umstellen oder auch nach p oder q.

Beispiel 2: Höhensatz

Wir haben ein Dach wie in der nächsten Grafik zu sehen. Von der Spitze mit einem rechten Winkel geht eine Höhe h nach unten auf den Dachboden. Bekannt sind außerdem auf dem Boden die beiden Längen 6 Meter und 4 Meter. Wie groß ist die Höhe h?

Satzgruppe des Pythagoras Beispiel 2 Aufgabe Höhensatz

Lösung:

Die beiden Angaben zeigen im Vergleich zur normalen Grafik, dass q = 6 m ist und p = 4 m. Wir suchen die Höhe h, daher nehmen wir die Formel vom Höhensatz nach h umgestellt. In diese Formel setzen wir die Angaben ein und berechnen die Höhe h.

Satzgruppe des Pythagoras Beispiel 2 Lösung Höhensatz

Weitere Erklärungen und Beispiele findet ihr unter Höhensatz des Euklid.

Kathetensatz:

Der Kathetensatz des Euklid gehört auch zur Satzgruppe des Pythagoras. Beim Kathetensatz werden p und q als Hypotenusenabschnitte bezeichnet. Es gilt: Das Quadrat der Länge einer Kathete ist von der Fläche genau so groß wie das Rechteck aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt und der gesamten Hypotenuse.

Satzgruppe des Pythagoras Beispiel 3 Aufgabe

Die Gleichungen lauten

Satzgruppe des Pythagoras Formeln Kathetensatz

Weitere Erklärungen und Beispiele findet ihr unter Kathetensatz.

Aufgaben / Übungen Satzgruppe Pythagoras

Wir haben sowohl zum Satz des Pythagoras als auch zum Höhensatz und zum Kathetensatz einige Übungen verfügbar. Die Liste wird ergänzt mit einigen Übungen zu den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Tipp:

  • Alle Übungen durchmachen.
  • So werdet ihr fit in Mathematik.
  • Schummelt nicht beim Lösen der Übungen.

Video Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras Video

Dieses Video bringt euch die Satzgruppe des Pythagoras näher:

  • In diesem Video geht es darum, wie man den Satz des Pythagoras an einem rechtwinkligen Dreieck anwenden kann.
  • Es bietet einen Mix an Beispielen mit Zahlen, um eine fehlende Seite zu berechnen.
  • Es geht jedoch auch auf die Hintergründe des Satzes von Pythagoras ein.
    • Wie man auf diesen kommt bzw. warum er überhaupt funktioniert.
  • Bei den Beispielen werden die Längen zweier Seiten vorgegeben und die Dritte berechnet.
  • Video-Quelle: Youtube.com

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Satzgruppe Pythagoras

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Satzgruppe des Pythagoras an.


F: Welche typischen Fehler werden oft gemacht?

A: Diese Fehler sind typisch:

  • Quadrieren: Es fällt immer mal wieder auf, dass Schüler und Schülerinnen das Quadrieren oder Wurzel ziehen nur mit den Zahlen durchführen, aber nicht mit den Einheiten.
  • Einheiten: Quadriert ihr Meter (m) erhaltet ihr Quadratmeter (m2). Und umgekehrt wird beim Wurzelziehen aus m2 wieder m. Außerdem müsst ihr darauf achten gleiche Einheiten einzusetzen.
    • Ihr dürft nicht Meter und Zentimeter vermischen, sondern müsst entweder alles in Meter oder alles in Zentimeter einsetzen.

F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Werft noch einen Blick auf diese Gebiete:


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