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Betragsungleichungen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 30. September 2018 um 14:49 Uhr

Wie man Betragsungleichungen löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung was Betragsungleichungen sind und wie man sie berechnet.
  • Beispiele wie man Ungleichungen mit einem Betrag löst.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zu Betragsungleichungen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Es macht keinen Sinn sich mit Betragsgleichungen zu beschäftigen, wenn ihr nicht schon einige Vorkenntnisse habt. Ihr solltet daher unbedingt schon einfache Gleichungen auflösen können, die Grundlagen der Betragsrechnung kennen und bereits Betragsgleichungen lösen können. Wer das nicht kann, sieht bitte erst einmal die entsprechenden Themen an.

Betragsungleichungen lösen

Klären wir zunächst kurz, was eine Betragsungleichung überhaupt ist. Definition:

Hinweis:

Eine Betragsungleichung ist eine Ungleichung, bei der mindestens ein Betrag vorkommt.

Um das Lösen von Betragsungleichungen zu verstehen, sehen wir uns einmal Beispiele dazu an.

Beispiel 1:

Im ersten Beispiel haben wir den Betrag von x - 2 und der soll kleiner oder gleich groß sein wie 3x. Wie groß ist x?

Betragsungleichungen Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir müssen für die Berechnung dieser Betragsungleichung eine Fallunterscheidung durchführen. Der erste Fall besteht darin, dass wir einfach die Betragsstriche weglassen und rechnen. Dazu bringen wir x auf eine Seite der Ungleichung und die Zahl auf die andere Seite. Wichtig: Bei der Division durch eine negative Zahl - in diesem Fall -2x - dreht sich das Vergleichszeichen um. Wir erhalten damit , dass x größer oder gleich -1 ist.

Betragsgleichung Beispiel 1 Lösung Teil 1

Für den zweiten Fall nehmen wir das was zwischen den Betragsstrichen steht und setzen ein Minuszeichen davor. Dabei dürft ihr die Klammer nicht vergessen. Auch hier formen wir so um, dass x auf einer Seite der Ungleichung steht und die Zahl auf der anderen Seite. Am Ende drehen wir den Ausdruck einfach um und berechnen, dass x größer oder gleich 0,5 sein muss.

Betragsungleichungen Beispiel 1 Lösung Teil 2

Sehen wir uns die beiden Berechnungen einmal an. Dabei sehen wir, dass x einmal größer als 0,5 sein muss und einmal größer als -1. Dies ist in blau und in grün auf der nächsten Zahlengerade markiert:

Bruchungleichungen Beispiel 1 Zahlengerade

Beide Bedingungen müssen erfüllt sein. Daher müssen alle Zahlen größer als 0,5 sein. Denn alle Zahlen größer 0,5 sind auch größer -1. Die Lösungsmenge beginnt dabei bei 0,5. Wobei die 0,5 dazu gehören muss. Alle größeren Zahlen sind dabei auch erlaubt bis hin zu unendlich.

Betragsungleichungen Beispiel 1 Lösung

Bruchungleichung Beispiel

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zu Bruchungleichungen an.

Beispiel 2 der Bruchungleichungen

Das Beispiel lautet, dass der Betrag von 40 - x kleiner oder gleich sein muss zur Zahl 12.

Betragsungleichung Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Auch hier müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen. So nehmen wir als ersten Fall wieder die Betragszeichen weg und rechnen x aus. Dazu einfach x auf eine Seite der Gleichung schaffen und die Zahl auf die andere Seite. Wir erhalten damit 28 kleiner gleich x.

Betragsungleichungen Beispiel 2 Lösung Teil 1

Der zweite Fall ergibt sich dadurch, dass man ein Minus vor alles mit Betrag setzt und statt den Betragszeichen eine Klammer. Dadurch erhalten wir -(40 -x) kleiner-gleich 12. Auch hier wieder nach x umstellen. Wir erhalten damit x kleiner-gleich 52.

Betragsungleichung Beispiel 2 Lösung Teil 2

Die beiden Lösungen fassen wir zusammen und damit muss x zwischen 28 und 52 liegen. Die 28 und 52 müssen dabei eingeschlossen werden.

Betragsungleichung Beispiel 2 Lösungsmenge

Aufgaben / Übungen Bruchungleichungen

Aufgabe 1: Bevor wir rechnen kurz eine Frage. Was muss man beim Lösen von Betragsungleichungen beachten?

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Video Betragsungleichungen

Beispiel und Erklärung

In diesem Video lernt ihr:

  • Was eine Betragsungleichung / Ungleichung überhaupt ist.
  • Ein Beispiel zu Betragsungleichungen.
  • Was es mit der Fallunterscheidung auf sich hat.
  • Die Fallunterscheidung bei diesem Beispiel.
  • Die Lösung der Aufgabe.

Dieses Video habe ich auf Youtube gefunden.

Fragen mit Antworten Betragsungleichungen

In diesem Abschnitt sehen wir typische Fragen mit Antworten zu Betragsungleichungen an.

F: Ich verstehe Betragsungleichungen nicht. Wie kann ich das Thema lernen?

A: Um es noch einmal zu betonen (weiter oben wurde es bereits gesagt). Ihr solltet unbedingt normale (lineare) Gleichungen lösen können sowie einfach Betragsrechnung drauf haben und auch Betragsgleichungen lösen können. Lernt nicht eines dieser Themen oder zwei, sondern lernt erst einmal alle drei Themen. Löst in diesen die entsprechenden Aufgaben und geht erst danach an Betragsungleichungen dran.

F: Wann wird das Thema in der Schule behandelt?

A: Die Betragsungleichungen sind eher ein Randthema in der Schule. Behandelt werden diese im Normalfall erst ab der 8. Klasse oder 9. Klasse bzw. auch 10. Klasse. Sie sind dann oft erst wieder ein Thema im Studium, zumindest wenn es in diesem Studium auch auf Mathematik ankommt.

F: Welche Themen sollte ich mir noch ansehen?

A: Zu Gleichungen bzw. Ungleichungen haben wir noch weitere Inhalte verfügbar. Seht euch doch noch diese Themen an:


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