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Satz von Vieta (Wurzelsatz)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 27. Dezember 2018 um 14:22 Uhr

Wie man den Satz von Vieta (Wurzelsatz von Vieta) verwendet, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Definition / Erklärung, was der Wurzelsatz von Vieta ist.
  • Beispiele wie man den Satz von Vieta verwendet.
  • Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zur PQ-Formel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich den Satz von Vieta an. Sehr hilfreich beim Verständnis ist es, wenn ihr bereits wisst, was eine quadratische Gleichung ist und wie die PQ-Formel funktioniert. Wer davon noch keine Ahnung hat sieht bitte erst in diese beiden Themen rein.

Satz von Vieta: Definition und Erklärung

Wozu dient der Satz von Vieta eigentlich? Starten wir mit einer Erklärung bzw. Definition zum Satz von Vieta:

Hinweis:

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen einer quadratischen Gleichung und deren Lösung her. Genauer gesagt gibt es zwischen den Koeffizienten p und q sowie den beiden Lösungen x1 und x2 zwei Gleichungen.

Wir haben eine quadratische Gleichung in dieser Form:

Satz von Vieta Quadratische Gleichung

Der Satz von Vieta besagt, dass diese beiden Gleichungen zutreffend sind:

Wurzelsatz von Vieta Lösung quadratische Gleichung

Satz von Vieta Beispiel:

Wir haben die quadratische Gleichung x2 -8x - 9 = 0. Löst man diese Gleichung mit der PQ-Formel erhält man als Lösungen x1 = -1 und x2 = -9. Mit der allgemeinen quadratischen Gleichung und dem Satz von Vieta ergibt sich damit die folgende Rechnung. Wichtig: Achtet auf die Vorzeichen.

Satz von Vieta Beispiel 1

Soweit zu den Zusammenhängen beim Satz von Vieta. Im nächsten Abschnitt sehen wir uns ein paar Beispiele dazu etwas näher an.

Satz von Vieta Beispiele

So richtig "optimal" ist der Wurzelsatz von Vieta für viele Dinge nicht. Er ist meistens eher ein zusätzliches Hilfsmittel im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen. Dies soll auch mit Beispielen noch gezeigt werden.

Beispiel 1: Zweite Nullstelle berechnen

Wir haben die quadratische Gleichung x2 + x - 6 = 0. Berechne die zweite Nullstelle wenn du weißt, dass x1 = 2 eine Lösung ist.

Lösung:

Aus der quadratischen Gleichung können wir direkt p = 1 ablesen. Aus der Aufgabenstellung wissen wir noch, dass x1 = 2 ist. Wir nehmen die Gleichung vom Satz von Vieta mit "p" und setzen hier ein. Damit erhalten wir x2 = -3.

Satz von Vieta Beispiel 2

Beispiel 2: Satz von Vieta und Linearfaktorzerlegung

Gib die Linearfaktorzerlegung von x2 + x - 6 = 0 an.

Lösung:

Wir kennen die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung aus Beispiel 1. Dies waren x1 = 2 und x2 = -3. Damit haben wir schon einen wichtigen Schritt für die Linearfaktorzerlegung durchgeführt. Dies bedeutet, dass wir mit den beiden Nullstellen zwei Klammern erzeugen können, die ausmultipliziert unsere quadratische Gleichung ergibt. Wichtig: Die Klammer muss jeweils so gestaltet sein, dass wenn man x1 bzw. x2 einsetzt stets 0 herauskommt.

Satz von Vieta Beispiel 2 Linearfaktorzerlegung

Aufgaben / Übungen Satz von Vieta

Aufgabe 1: Wir haben die quadratische Gleichung x2 + x - 6 = 0. Berechne die zweite Nullstelle mit dem Satz von Vieta wenn du weißt, dass x = 2 eine Lösung ist.

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Video PQ-Formel

Quadratische Gleichungen

Das nächste Video befasst sich mit quadratischen Gleichungen und der PQ-Formel:

  • Was ist eine quadratische Gleichung?
  • Beispiele für quadratische Gleichung.
  • Wofür braucht man die PQ-Formel?
  • Beispiele zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Satz von Vieta

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Satz von Vieta an.

F: Was muss ich beim Satz von Vieta beachten?

A: Beim Wurzelsatz von Vieta muss man vor allem auf die Vorzeichen achten. Achtet darauf, ob in der Ausgangsgleichung ein Minuszeichen vorhanden ist. Dies gilt auch beim Ablesen von p und q. Wenn ihr einsetzt könnt ihr als Hilfe um das Eingesetzte eine Klammer setzten.


F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen?

A: Hier findet eine Übersicht an Themen rund um Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme.


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