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Erste Nullstelle finden (Polynomdivision)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 29. Dezember 2018 um 14:28 Uhr

Wie man eine erste Nullstelle findet (zum Beispiel für die Polynomdivision), lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, wie man eine erste Nullstelle findet.
  • Beispiele für kubische Gleichungen.
  • Übungen zum Berechnen von Nullstellen.
  • Ein Video zur Polynomdivision.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Hinweis: Um eine Polynomdivision durchführen zu können, benötigt man eine erste Nullstelle. Wie man diese (in der Schule) findet, lernt ihr hier. Die Polynomdivision sehen wir uns in einem separaten Artikel an. Diesen findet ihr unter Polynomdivision Erklärung.

Erklärung: Erste Nullstelle

Eine Polynomdivision kann nur durchgeführt werden, wenn man bereits eine Nullstelle hat. In der Schule gibt es dazu eigentlich nur ein "Verfahren" um diese zu finden. Dieses lautet: Ausprobieren. Dazu setzen wir in eine Funktion einige Zahlen ein und hoffen darauf eine Nullstelle zu finden.

Hinweis:

Es gibt auch rechnerische Verfahren die erste Nullstelle zu finden. Diese sind jedoch extrem aufwendig und werden aus diesem Grund in der Schule in der Regel nicht behandelt. Wir konzentrieren uns in diesem Artikel daher auf das Auffinden der ersten Nullstelle durch Ausprobieren.

Beispiel 1: Erste Nullstelle finden

Finde für den folgenden Ausdruck eine erste Nullstelle.

Erste Nullstelle finden Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Um eine Nullstelle zu erraten setzt man typischerweise kleine Zahlen ein wie 0, 1, 2, 3, .. oder auch -1, -2, -3... und schaut dann ob das Polynom Null wird. Fangen wir einmal damit an x = 0 einzusetzen.

Erste Nullstelle finden Beispiel 1 Lösungsversuch mit x = 0

Das war wohl nichts. Mit 6 = 0 haben wir keine Gleichung. Versuchen wir als nächstes x = 1:

Erste Nullstelle finden Beispiel 1 mit x = 1

Wir haben bei x = 1 eine Nullstelle. Hinweis: Würden wir nun eine Polynomdivision durchführen um weitere Nullstellen zu finden würde die Aufgabe (x3- 6x2 - x + 6) : (x -1) lauten. Diese findet ihr vorgerechnet unter Polynomdivision Erklärung.

Beispiele erste Nullstelle finden

In diesem Abschnitt sehen wir uns eine kubische Funktion (kubische Gleichung) an.

Beispiel 2: Kubische Funktion erste Nullstelle

Finde für die folgende kubische Funktion die erste Nullstelle. Wo liegt diese?

Erste Nullstelle finden Beispiel 2

Lösung:

Wir setzen für x verschiedene Zahlen ein bis wir 0 = 0 erhalten.

Erste Nullstelle finden Beispiel 2 Lösung

Für x = -1 erhalten wir eine korrekte Lösung. Für eine Polynomdivision müsste die Aufgabe (x3 + 8x2 + 19x + 12) : (x + 1) berechnet werden.

Aufgaben / Übungen Nullstellen berechnen

Aufgabe 1: Zunächst ein kurzer Hinweis: Wer eine Aufgabe oder Frage nicht mag, kann auf "Überspringen" klicken. Bevor wir Rechnen erst einmal ein paar Fragen zum Einstieg: Welche Eigenschaft haben Nullstellen gemeinsam (in einem normalen x-y-Koordinatensystem wie im Artikel verwendet)?

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Video Polynomdivision

Erklärung und Beispiel

Zur Polynomdivision findet ihr hier ein Video:

  • Im diesem Video zur Polynomdivision wird zunächst erklärt, was ein Polynom ist.
  • Danach wird am Beispiel (x³- 6x² + 9x - 4) : (x-1) ein Beispiel vorgerechnet.
  • Das nächste Beispiel zeigt die Funktion f(x) = 2x³ - 5x² + 7x - 4 = 0.
  • Hier weiß man zunächst nicht, wo die erste Nullstelle liegt.
    • Daher erhaltet ihr einen Trick, wie man die erste Nullstelle erraten kann.
    • Auch wird gezeigt, dass man später mit der PQ-Formel oder der ABC-Formel die verbleibenden Nullstellen finden kann.
  • Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.

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Fragen mit Antworten Erste Nullstelle

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen rund um die (erste) Nullstelle an. Dazu werden auch Verfahren vorgestellt, welche zum Auffinden dieser Nullstellen verwendet werden.

F: Sollte ich die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel für quadratische Funktionen nehmen?

A: Funktionieren tun PQ-Formel und Mitternachtsformel gleichermaßen. Ich selbst finde die PQ-Formel einfacher in der Anwendung, aber das ist Geschmackssache. Steht vor dem x2 eine 1, dann ist meist die PQ-Formel die leichtere Variante. Wer noch weitere Infos zu beiden Arten braucht, der kann auch in die Artikel PQ-Formel oder ABC-Formel rein sehen.

F: Wie finde ich die Nullstellen bei Sinus- und Kosinus Funktionen?

A: Das Auffinden von Nullstellen bei Funktionen / Gleichungen mit Sinus oder Cosinus ist ein eigenes Thema. Wir befassen uns damit im Artikel Nullstellen Sinus / Cosinus.

F: Welche Themen sollte ich mir nun ansehen?

A: Werft einen Blick auf diese Gebiete:


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