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Ableitung Wurzel / Wurzelfunktion

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 01. Juni 2019 um 19:19 Uhr

Wie man eine Wurzel bzw. Wurzelfunktion ableitet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man eine Wurzelfunktion ableitet.
  • Beispiele für die Wurzelableitung mit Potenzregel oder Kettenregel.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Ableitung einer Wurzel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wer mag kann sich die gleich kommenden Ableitungsregeln unter Potenzregel und Kettenregel noch einzeln ansehen.

Ableitung einfache Wurzel

Zunächst ein Hinweis:

Hinweis:

Einfache Wurzeln können mit der Potenzregel abgeleitet werden. Kompliziertere Wurzelfunktionen werden hingegen mit der Kettenregel abgeleitet.

Steht nur ein x unter der Wurzel kann die Wurzel in eine Potenz umgewandelt werden. Dies funktioniert auch wenn die 3. Wurzel abgeleitet werden soll. Im Anschluss kann die Funktion mit der Potenzregel abgeleitet werden. Die Formel lautet:

Ableitung Wurzel Formel

Beispiel 1: Zweite Wurzel Ableitung

Wie lautet die Quadratwurzel aus x abgeleitet?

Ableitung Wurzel Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir wandeln die Funktion mit der Formel zunächst in eine Potenz um. Im Anschluss nehmen wir die allgemeine Formel für die Ableitung. Diese lautet f'(x) = n · xn-1. Die Potenz - also 0,5 - kommt damit nach vorne und der Exponent wird um 1 reduziert. Im Anschluss vereinfachen wir die abgeleitete Funktion noch.

Ableitung Wurzel Beispiel 1 Lösung

Dies funktioniert natürlich auch wenn wir die n-te Wurzel haben oder dritte Wurzel. In diesem Fall ist n dann eben zum Beispiel 3, aber an der Rechnung ändert sich nichts.

Ableitung Wurzelfunktion

Was macht man wenn die Funktion mit der Wurzel komplizierter wird? In diesem Fall benötigt man die Kettenregel.

Beispiel 2: Wurzelfunktion ableiten

Wie lautet die erste Ableitung dieser Funktion?

Ableitung Wurzelfunktion Aufgabe

Lösung:

Wir benötigen die Kettenregel für die Ableitung. Dazu unterteilen wir f(x) in eine innere Funktion und eine äußere Funktion. Die innere Funktion ist v(x) = x2 + x + 5. Dies abgeleitet ergibt v'(x) = 2x + 1. Als äußere Funktion identifizieren wir die Wurzel von irgend etwas, kurz geschrieben die Wurzel von v. Wirft man einen Blick in eine Ableitungstabelle ist die Wurzel aus v abgeleitet 1 geteilt durch 2 mal Wurzel aus v. Im nächsten Schritt multiplizieren wir innere und äußere Ableitungen miteinander und setzen v = x2 + x + 5 wieder ein.

Ableitung Wurzelfunktion Lösung

Aufgaben / Übungen Wurzel Ableitung

Aufgabe 1:

Fangen wir mit einer Frage an. Ihr habt eine anspruchsvollere Funktion unter einer Wurzel.

  • Welche Ableitungsregel wird für die Wurzelfunktion typischerweise benötigt?
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Video Wurzel Ableitung

Erklärung und Beispiele

Dies sehen wir uns im nächsten Video an:

  • Was ist eine Wurzelfunktion?
  • Wie leitet man diese Wurzel ab?
  • Die Kettenregel wird vorgestellt.
  • Beispiele werden vorgerechnet.
  • Beispiele werden erläutert.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Wurzel Ableitung

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Ableitung einer Wurzel bzw. Wurzelfunktion an.

F: Kann man eine Wurzel mit Bruch ableiten?

A: Natürlich. Ist dies nur ein Bruch mit Zahlen wie zum Beispiel 1:2 kann man diesen ausrechnen. Ist es ein Bruch mit Variablen müssen wir etwas anders vorgehen. In diesem Fall haben wir nach wie vor die Wurzel aus v wie im letzten Beispiel. Dies ist nach wie vor 1 durch 2 mal Wurzel aus v. Hinzu kommt die Ableitung unter der Wurzel. Dazu benötigt ihr die Quotientenregel.

F: Wie bildet man die 2. Ableitung einer Wurzel?

A: Nach der ersten Ableitung von einer Wurzel habt ihr im Normalfall einen Bruch. In dessen Nenner steht wieder eine Wurzel. Um so etwas abzuleiten benötigt ihr die Quotientenregel um den Bruch abzuleiten und die Kettenregel für die Wurzel im Nenner.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Kettenregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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