Kettenregel Ableitung

Die Kettenregel für Ableitungen lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was die Kettenregel ist und wann man sie braucht.
• Beispiele wie man diese Ableitungsregel anwendet.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zur Kettenregel.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Ableitungsregeln um Funktionen oder Gleichungen abzuleiten. Bevor ihr euch die Kettenregel hier anseht, solltet ihr die Grundlagen der Ableitung kennen sowie die Produktregel.

Kettenregel einfach erklärt

Es gibt verschiedene Regeln in der Mathematik um Funktionen abzuleiten. Eine dieser Ableitungsregeln ist die Kettenregel.

Woran erkennt man, dass die Kettenregel benötigt wird? Kompliziert ausgedrückt: Man erkennt es daran, dass das Argument einer Funktion komplizierter als x ist (und damit selbst wieder eine Funktion von x).

Einfacher ausgedrückt: Die Kettenregel wird bei Potenzen mit Klammer, der E-Funktion, Logarithmus, Sinus und Kosinus oder auch Wurzelfunktionen eingesetzt. Typische Funktionen bzw. Gleichungen für den Einsatz der Kettenregel sind damit:

Wichtig: In manchen Fällen müssen Kettenregel und Produktregel zum Lösen einer Aufgabe eingesetzt werden. In den beiden folgenden Fällen werden beide Ableitungsregeln benötigt:

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Kettenregel Beispiele

Sehen wir uns jeweils ein Beispiel zur Kettenregel für die Ableitung von einer Potenz mit Klammer, einer E-Funktion, einem natürlichen Logarithmus, einer Sinus-Funktion und einer Wurzel an.

Beispiel 1: Potenz mit Klammer

Beginnen wir mit einem einfacheren Beispiel mit f(x) = (2x - 5)³. Eine Potenz bei der die Basis eine Klammer aufweist. Solche Aufgaben kann man auch mit der Potenzregel ableiten, dies ist jedoch sehr umständlich. Daher wenden wir die Kettenregel an, indem wir zunächst die äußere Funktion und die innere Funktion herausfinden und diese jeweils ableiten.

Die innere Funktion ist 2x - 5, abgeleitet einfach 2. Fehlt uns noch die äußere Funktion welche irgendetwas hoch 3 ist. Das irgendetwas kürzen wir ab mit v. Wer dies mathematischer möchte nennt es Substitution, aber das hat bis zum Beginn der Ableitungsregel vermutlich jeder schon vergessen. Wir erhalten als äußere Funktion u(v) = v³. Wir leiten dies mit der Potenzregel ab und erhalten u'(v) = 3v². Zuletzt müssen wir beide Ableitungen miteinander multiplizieren und setzen für v wieder 2x - 5 ein.

Beispiel 2: Kettenregel für E-Funktion

Mit der Kettenregel wird auch die Ableitung einer E-Funktion berechnet. Die innere Funktion ist der Exponent mit 3x - 5. Wir leiten dies mit der Potenzregel ab und erhalten v'(x) = 3. Die äußere Funktion ist e hoch irgendetwas. Wir kürzen dies ab mit e^v. Die Ableitung von e hoch irgendetwas oder kurz e^v bleibt e hoch irgendwas oder kurz e^v. Beide Ableitungen werde miteinander multipliziert und für v setzen wir wie am Anfang festgelegt wieder 3x - 5 ein.

Beispiel 3: Kettenregel für Logarithmus

Funktionen bzw. Gleichungen mit Logarithmus können ebenfalls mit der Kettenregel abgeleitet werden. Die innere Funktion ist dabei x + 3, abgeleitet einfach 1. Die äußere Funktion ist der ln von irgendetwas, abgekürzt ln v. Einer Ableitungstabelle kann man entnehmen, dass die Ableitung von ln v einfach 1 : v ist. Beide Ableitungen werden miteinander multipliziert und für v wird v = x + 3 wie am Anfang festgelegt eingesetzt.

Beispiel 4: Kettenregel für Sinus ableiten

Ein weiterer Fall für die Kettenregel ist die Ableitung von Sinus-Funktionen. Die erste Ableitung für f(x) = 5 · sin(3x) soll gefunden werden. Nach der Faktorregel bleibt die 5 vorne einfache erhalten und kann sofort für die Ableitung verwendet werden. Die innere Funktion ist dabei v(x) = 3x und deren Ableitung ist v'(x) = 3. Fehlt uns noch die äußere Funktion. Diese ist der Sinus von irgendetwas, abgekürzt bei uns mit sin(v). Die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus. Beide Ableitungen werden miteinander multipliziert und im Anschluss v = 3x eingesetzt.

Beispiel 5: Kettenregel für Wurzel

Im fünften Beispiel soll eine Wurzelfunktion abgeleitet werden. Die innere Funktion ist alles unter der Wurzel. Dies leiten wir mit der Potenzregel ab und erhalten die innere Ableitung mit v'(x) = 2x + 1. Als äußere Funktion identifizieren wir die Wurzel von irgend etwas, kurz die Wurzel von v. Wirft man einen Blick in eine Ableitungstabelle ist die Wurzel aus v abgeleitet 1 geteilt durch 2 mal Wurzel aus v. Im nächsten Schritt multiplizieren wir beide Ableitungen miteinander und setzen v = x² + x + 5 ein.

Aufgaben / Übungen Kettenregel

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal eine Frage zum Einstieg:

• Wie ermittelt man eine Ableitung mit der Kettenregel?

• Innere Ableitung mal äußere Ableitung
• Zähler durch Nenner
• Faktor mal Produkt
• Mit Kehrwert multiplizieren

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Video Kettenregel

Fragen mit Antworten Kettenregel