Azubiworld partner

Kettenregel Ableitung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 19. Mai 2019 um 14:11 Uhr

Die Kettenregel für Ableitungen lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was die Kettenregel ist und wann man sie braucht.
  • Beispiele wie man diese Ableitungsregel anwendet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Kettenregel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Ableitungsregeln um Funktionen oder Gleichungen abzuleiten. Bevor ihr euch die Kettenregel hier anseht, solltet ihr die Grundlagen der Ableitung kennen sowie die Produktregel.

Kettenregel einfach erklärt

Es gibt verschiedene Regeln in der Mathematik um Funktionen abzuleiten. Eine dieser Ableitungsregeln ist die Kettenregel.

Hinweis:

Eine zusammengesetzte - also verkettete - Funktion leitet man mit der Kettenregel ab. Man erhält die Ableitung in dem man die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert. Merkt euch:

  • Ableitung = Innere Ableitung · Äußere Ableitung

Wer es komplizierter oder mathematischer möchte kann diesen Zusammenhang so ausdrücken:

Kettenregel Formel

Woran erkennt man, dass die Kettenregel benötigt wird? Kompliziert ausgedrückt: Man erkennt es daran, dass das Argument einer Funktion komplizierter als x ist (und damit selbst wieder eine Funktion von x).

Einfacher ausgedrückt: Die Kettenregel wird bei Potenzen mit Klammer, der E-Funktion, Logarithmus, Sinus und Kosinus oder auch Wurzelfunktionen eingesetzt. Typische Funktionen bzw. Gleichungen für den Einsatz der Kettenregel sind damit:

Kettenregel Beispiele

Wichtig: In manchen Fällen müssen Kettenregel und Produktregel zum Lösen einer Aufgabe eingesetzt werden. In den beiden folgenden Fällen werden beide Ableitungsregeln benötigt:

Kettenregel Beispiele mit Produktregel

Kettenregel Beispiele

Sehen wir uns jeweils ein Beispiel zur Kettenregel für die Ableitung von einer Potenz mit Klammer, einer E-Funktion, einem natürlichen Logarithmus, einer Sinus-Funktion und einer Wurzel an.

Beispiel 1: Potenz mit Klammer

Beginnen wir mit einem einfacheren Beispiel mit f(x) = (2x - 5)3. Eine Potenz bei der die Basis eine Klammer aufweist. Solche Aufgaben kann man auch mit der Potenzregel ableiten, dies ist jedoch sehr umständlich. Daher wenden wir die Kettenregel an, indem wir zunächst die äußere Funktion und die innere Funktion herausfinden und diese jeweils ableiten.

Die innere Funktion ist 2x - 5, abgeleitet einfach 2. Fehlt uns noch die äußere Funktion welche irgendetwas hoch 3 ist. Das irgendetwas kürzen wir ab mit v. Wer dies mathematischer möchte nennt es Substitution, aber das hat bis zum Beginn der Ableitungsregel vermutlich jeder schon vergessen. Wir erhalten als äußere Funktion u(v) = v3. Wir leiten dies mit der Potenzregel ab und erhalten u'(v) = 3v2. Zuletzt müssen wir beide Ableitungen miteinander multiplizieren und setzen für v wieder 2x - 5 ein.

Kettenregel Beispiel 1  Klammer mit Potenz

Beispiel 2: Kettenregel für E-Funktion

Mit der Kettenregel wird auch die Ableitung einer E-Funktion berechnet. Die innere Funktion ist der Exponent mit 3x - 5. Wir leiten dies mit der Potenzregel ab und erhalten v'(x) = 3. Die äußere Funktion ist e hoch irgendetwas. Wir kürzen dies ab mit ev. Die Ableitung von e hoch irgendetwas oder kurz ev bleibt e hoch irgendwas oder kurz ev. Beide Ableitungen werde miteinander multipliziert und für v setzen wir wie am Anfang festgelegt wieder 3x - 5 ein.

Kettenregel Beispiel 2 E-Funktion

Beispiel 3: Kettenregel für Logarithmus

Funktionen bzw. Gleichungen mit Logarithmus können ebenfalls mit der Kettenregel abgeleitet werden. Die innere Funktion ist dabei x + 3, abgeleitet einfach 1. Die äußere Funktion ist der ln von irgendetwas, abgekürzt ln v. Einer Ableitungstabelle kann man entnehmen, dass die Ableitung von ln v einfach 1 : v ist. Beide Ableitungen werden miteinander multipliziert und für v wird v = x + 3 wie am Anfang festgelegt eingesetzt.

Kettenregel Beispiel 3 Logarithmus

Beispiel 4: Kettenregel für Sinus ableiten

Ein weiterer Fall für die Kettenregel ist die Ableitung von Sinus-Funktionen. Die erste Ableitung für f(x) = 5 · sin(3x) soll gefunden werden. Nach der Faktorregel bleibt die 5 vorne einfache erhalten und kann sofort für die Ableitung verwendet werden. Die innere Funktion ist dabei v(x) = 3x und deren Ableitung ist v'(x) = 3. Fehlt uns noch die äußere Funktion. Diese ist der Sinus von irgendetwas, abgekürzt bei uns mit sin(v). Die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus. Beide Ableitungen werden miteinander multipliziert und im Anschluss v = 3x eingesetzt.

Kettenregel Beispiel 4 Sinus

Beispiel 5: Kettenregel für Wurzel

Im fünften Beispiel soll eine Wurzelfunktion abgeleitet werden. Die innere Funktion ist alles unter der Wurzel. Dies leiten wir mit der Potenzregel ab und erhalten die innere Ableitung mit v'(x) = 2x + 1. Als äußere Funktion identifizieren wir die Wurzel von irgend etwas, kurz die Wurzel von v. Wirft man einen Blick in eine Ableitungstabelle ist die Wurzel aus v abgeleitet 1 geteilt durch 2 mal Wurzel aus v. Im nächsten Schritt multiplizieren wir beide Ableitungen miteinander und setzen v = x2 + x + 5 ein.

Kettenregel Beispiel 5 Wurzel

Aufgaben / Übungen Kettenregel

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal eine Frage zum Einstieg:

  • Wie ermittelt man eine Ableitung mit der Kettenregel?
Überspringen »


Du hast 0 von 5 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Kettenregel

Erklärung und Beispiele

Dies sehen wir uns im nächsten Video zur Kettenregel an:

  • Wofür braucht man die Kettenregel?
  • Ableitung innere und äußere Funktion
  • Beispiel 1 zur Potenz mit Klammer ableiten.
  • Beispiel 2 zur Ableitung eines Sinus.
  • Beispiel 3 zur Ableitung einer E-Funktion.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Kettenregel

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Kettenregel als Ableitungsregel an.

F: Wann wird die Kettenregel behandelt?

A: Die Kettenregel wird meistens ab der 11. Klasse in der Schule behandelt. Sie ist Teil der Differentialrechnung bzw. der Analysis und kommt auch nach der 11. Klasse vor sowie im Abitur. Das Rechnen mit Ableitungen ist auch ein wichtiger Bestandteil in vielen Studiengängen von Naturwissenschaften über Wirtschaft bis zur Technik.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Kettenregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

F: Welche Themen gibt es noch in der Oberstufe?

A: Neben dem Ableiten inklusive der Kettenregel steht das Integrieren auf dem Lehrplan der Oberstufe und Abitur. Darüber hinaus steht die Geometrie - genauer gesagt analytische Geometrie - inklusive der Vektorrechnung und die Stochastik auf dem Schulplan.


Neue Artikel

404 Gäste online