Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 23. Juni 2019 um 18:48 Uhr

Das Vorzeichenwechselkriterium um einen Extrempunkt zu bestimmen, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was ein Extrempunkt ist.
  • Beispiele wie man diese Punkte berechnet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Extrempunkten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Berechnung von Extrempunkten (Hochpunkte und Tiefpunkt sind dies) werden verschiedenene Regeln der Ableitung benötigt. Insbesondere die Potenzregel als Ableitungsregel ist interessant, jedoch auch weitere Ableitungsregeln.


Extrempunkte Erklärung

In der Mathematik unterscheidet man zwischen Hochpunkten und Tiefpunkten, welche man beide als Extrempunkte bezeichnet. In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Maximum (Hochpunkt) und zwei Stellen mit einem Minimum (Tiefpunkt).

Extrempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt

Einen wichtigen Unterschied gibt es zwischen den beiden Hochpunkten (Max) und Tiefpunkten (Min) dennoch. Die beiden Maxima und Minima sind verschieden hoch oder tief. Ist ein Punkt wirklich der höchste Extrempunkt ist es der absolute Hochpunkt und die anderen Hochpunkte bezeichnet man als relative Hochpunkte (oder relative Maxima), da sie nur das Maximum in einem bestimmten Bereich darstellen. Der allertiefste Extrempunkt (Minimum) ist der absolute Tiefpunkt und die anderen sind relative Tiefpunkte (relative Minima).

Extrempunkte berechnen

Es gibt zwei Möglichkeiten die Extrempunkte zu berechnen:

Wir sehen uns im nächsten Abschnitt das Vorzeichenwechselkriterium an. Wer Hochpunkte und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung berechnen möchte wirft einen Blick in Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen.




Beispiel Vorzeichenwechselkriterium

Sehen wir uns einmal an wie man mit dem Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkte berechnet. Da viele Schüler und Schülerinnen bei Zwischenschritten scheitern, soll dies hier einmal sehr ausführlich dargestellt werden.

Beispiel 1: Extrempunkt berechnen

Wo liegen Hochpunkt und Tiefpunkt - also die Extrempunkte - bei der nächsten Funktion?

Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Für das Bilden der ersten Ableitung nutzen wir die Potenzregel. Die erste Ableitung vereinfachen wir im Anschlus noch.

Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt Beispiel 1 Lösung erste Ableitung

Im nächsten Schritt setzen wir diese erste Ableitung gleich Null. Wir erhalten eine Gleichung, welche wir mit der PQ-Formel lösen. Dazu lesen wir p = 3 und q = 2 ab und setzen dies in die allgemeine Lösungsformel der PQ-Formel ein. Im Anschluss berechnen wir x1 = -1 und x2 = -2.

Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt Beispiel 1 Lösung PQ-Formel bei 1. Ableitung

Wir haben x1= -1 und x2 = -2 berechnet. Dies sind die Stellen an denen die Ableitung Null ist. Um herauszufinden, ob es sich dabei um Extrempunkte handelt (und wenn ja welche) müssen wir die Stellen untersuchen. Wir setzen dabei einen "Trick" ein: Wenn es ein Hochpunkt ist müssen wir über einen Berg fahren (also hoch-runter). Ist es ein Tiefpunkt müssten wir ein Tal durchqueren (runter-hoch).

Vorzeichenwechselkriterium: Extrempunkt erkennen

Ob es hoch oder runter geht erkennt man an der Steigung. Die erste Ableitung ist nichts anderes als die Steigung. Beginnen wir mit x = -1. Wir nehmen eine Zahl die kurz vor der -1 und kurz nach der -1 ist. Zum Beispiel x = -1,1 (um etwas weiter links nachsehen) und x = -0,9 (um etwas weiter rechts nachzusehen. Beides setzen wir für x in die erste Ableitung ein).

Vorzeichenwechselkriterium Beispiel 1 Lösung Teil 3

Die Steigung ist erst negativ (-0,18) und danach positiv (+0,22). Es geht damit erst runter und danach hoch. Es liegt bei x = -1 somit ein Tiefpunkt vor. Der nächste Kandidat für einen Extrempunkt ist x = -2. Auch hier setzen wir eine Zahl links davon ( x = -2,1) ein und eine Zahl rechts davon ( x = -1,9) ein.

Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt Beispiel 1 Lösung Teil 4

Wir sehen nun, dass die Funktion erst steigt (+0,22) und im Anschluss fällt mit -0,18. Das ist ein Hochpunkt. Wir wissen jetzt, dass bei x = -1 ein Tiefpunkt vorliegt und bei x = -2 ein Hochpunkt. Die y-Werte der Punkte kennen wir jedoch noch nicht. Um diese zu berechnen setzen wir diese beiden x-Werte in die Ausgangsfunktion f(x) ein und berechnen jeweils y.

Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt: Tiefpunkt berechnen

Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt: Hochpunkt berechnen


Aufgaben / Übungen Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal die eine oder andere Frage:

  • Wie erkenne ich im Steigungsverhalten einen Hochpunkt?
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Video Hoch- und Tiefpunkt

Beispiele und Erklärung

Im nächsten Video geht es um Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkt):

  • Extrempunkte: Was ist ein Hochpunkt?
  • Extrempunkte: Was ist ein Tiefpunkt?
  • Wie sehen solche x-y-Punkte aus?
  • Wie berechne ich diese Extremstellen?
  • Beispiel wird vorgerechnet und erklärt.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Vorzeichenwechselkriterium

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Finden von Extrempunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium an.

F: Wie geht man vor wenn man die Extrempunkte finden möchte?

A: Die Vorgehensweise um Extrempunkte zu berechnen ist diese:

  • Erste Ableitung der Funktion bestimmen.
  • Erste Ableitung gleich Null setzen und x berechnen.
  • Um diese x herum Werte in f'(x) einsetzen.
  • Steigung berechnen:
    • Bei hoch-runter liegt ein Hochpunkt vor.
    • Bei runter-hoch liegt ein Tiefpunkt vor.
  • Berechnete x-Werte aus der ersten Ableitung in f(x) einsetzen und y-Wert berechnen.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt
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