Extremwertberechnung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 31. August 2019 um 14:05 Uhr

Was die Extremwertberechnung ist und wie man sie durchführt, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was Extremwerte sind und wie man sie berechnet.
  • Beispiele wie man die Extremwertberechnung durchführt.
  • Aufgaben / Übungen um dies alles selbst zu üben.
  • Ein Video zur Berechnung der Extremwerte.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Extremwertberechnung werden verschiedenen Ableitungsregeln benötigt. Insbesondere die Potenzregel solltet ihr kennen. Hilfreich sind jedoch auch weitere Ableitungsregeln.

Extremwertberechnung Erklärung

Klären wir zunächst einmal, was man unter der Berechnung der Extremwerte versteht. Die nächste Grafik zeigt den Verlauf einer Funktion mit Hochpunkten (Max) und Tiefpunkten (Min). Beides sind Extremwerte.

Extremwertberechnung: Minima und Maxima

Einen Punkt in der Ebene gibt man mit einem x-Wert und einem y-Wert an. Dies ist auch bei der Extremwertberechnung der Fall, wobei man hier ein bisschen mit den Begriffen aufpassen sollte.

  • Der Extrempunkt ist ein Punkt der mit x und y angegeben wird
  • Die Extremstelle ist nur der x-Wert davon.
  • Der Extremwert ist nur der y-Wert davon.

In der Praxis ist es so, dass man die volle Berechnung vom Extrempunkt durchführen muss und man sich für die Extremwertberechnung davon einfach nur den y-Wert nimmt.

Die Extremwertberechnung wird aus diesem Grund wie folgt durchgeführt:

  • 1. Ableitung Null setzen, f'(x) = 0.
    • Dies liefert mögliche Minima und Maxima (xe genannt).
  • Die 2. Ableitung an dieser Stelle xe muss ungleich 0 sein.
    • Ist f''(xe) < 0 liegt ein Maxima vor.
    • Ist f''(xe) > 0 liegt ein Minima vor.
    • Ist f''(xe) = 0 steht eine Prüfung auf Wendepunkte an.
  • Die xe-Werte werden in die Ausgangsgleichung f(x) eingesetzt um y zu berechnen (Extremwert).

Berechnung der Extremwerte

Sehen wir uns einmal an, wie man die Extremwertberechnung praktisch durchführt.

Beispiel 1: Extremwert berechnen

Wo liegt der Extremwert der nächsten Funktion?

Extremwertberechnung Aufgabe

Lösung:

Wir benötigen die Potenzregel um die erste Ableitung zu berechnen.

Extremwertberechnung Aufgabe 1 Lösung: Erste Ableitung

Im zweiten Schritt setzen wir die erste Ableitung gleich Null, also f'(x) = 0. Dies lösen wir mit der PQ-Formel. Dazu lesen wir p = 3 und q = 2 ab und setzen dies in die allgemeine Lösungsgleichung der PQ-Formel ein. Im Anschluss berechnen wir x1 = -1 und x2 = -2.

Extremwertberechnung Beispiel 1 Lösung Erste Ableitung PQ-Formel

Wir halten fest: Bei x1 = -1 und x2 = -2 liegen mögliche Extremwerte, welche wir nun näher untersuchen möchten. Mit der Potenzregel bilden wir noch die 2. Ableitung.

Extremwertberechnung Aufgabe 1 Lösung mit 2. Ableitung

Um zu überprüfen, ob es sich bei x1 = -1 und x2 = -2 um einen Extremwert handelt, setzen wir diese beiden x-Werte in f''(x) ein. Ist das Ergebnis größer als Null ist der Punkt ein Minima. Ist das Ergebnis kleiner als Null liegt ein Maxima vor.

Extremwertberechnung Aufgabe 1 Lösung Tiefpunkt

Die Berechnung zeigt, dass bei x1 = -1 ein Minima vorliegt und bei x2 = -2 ein Maxima. Wir kennen damit die x-Werte dieser Extrempunkte (also genauer gesagt kennen wir die Extremstelle). Jetzt berechnen wir noch deren y-Werte (also die Extremwerte). Dazu setzen wir x = -1 und x = -2 in die Ausgangsfunktion f(x) ein.

Extremwertberechnung Aufgabe 1 Lösung Hochpunkt

Wo liegen die Extrempunkte? Das Minima liegt bei x = -1 und y = - 5 : 3. Das Maxima berechnen wir gleich noch zu x = -2 und y = - 4 : 3.

Extremwertberechnung Lösung

Aufgaben / Übungen Extremwertberechnung

Aufgabe 1:

Wo liegt der Extrempunkt dieser Funktion?

Hochpunkt / Tiefpunkt Aufgabe 1 Aufgabenstellung

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Video Extremwertberechnung

Beispiele und Erklärung

Die Berechnung von Extremwerten wird in diesem Video behandelt. Als Beispiel dient die Aufgabe f(x) = x³ -9x² +24x -16. Zunächst wird die erste Ableitung und die zweite Ableitung gebildet. Im nächsten Schritt wie die erste Ableitung gleich Null gesetzt und mit der PQ-Formel berechnet. Damit haben wir die Kandidaten für Extrempunkte gefunden. Zur Überprüfung gibt es zwei Möglichkeiten: Begonnen wird mit dem Vorzeichenwechsel, um Hochpunkt bzw. Tiefpunkt zu identifizieren. Als nächstes wird dieser Schritt auch noch einmal mit der zweiten Ableitung gezeigt. Eine allgemeine Regel wird ebenfalls gezeigt, die auch den Sattelpunkt beinhaltet. Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.


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Fragen mit Antworten zur Extremwertberechnung

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen zur Extremwertberechnung an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die Extremwertberechnung ist ein Thema, welches im Mathematik-Unterricht der Oberstufe durchgeführt wird. Es begleitet die Schüler damit in der Regel in der 11. Klasse bis zur 13. Klasse und im Abitur. Im Studium ist dies durchaus auch ein Thema.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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