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Funktionen ableiten / Gleichungen Ableitung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 10. Juni 2019 um 20:46 Uhr

Was man eine Funktion oder Gleichung ableitet (grafische und rechnerische Ableitung), lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was eine Ableitung ist.
  • Beispiele für das Ableiten von Funktionen.
  • Aufgaben / Übungen um die Grundlagen zur Ableitung zu üben.
  • Ein Video zu Ableitungen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier die Grundlagen zur Ableitung von Funktionen bzw. Gleichungen an. Viel müsst ihr dazu erst einmal nicht wissen. Hilfreich ist es jedoch wenn ihr wisst was eine Funktion ist.

Funktion Ableitung Erklärung

Bevor wir uns die Regeln zur Ableitung von Funktionen / Gleichungen ansehen, klären wir erst einmal eine Frage: Was ist eine eine Ableitung?

Hinweis:

Die Ableitung einer Funktion oder Gleichung entspricht der Tangentensteigung. Mit der Bestimmung von Ableitungen lässt sich das Steigungsverhalten einer Funktion berechnen oder die Steigung der Funktionsgleichung in einem bestimmten Punkt.

Sehen wir uns kurz an was dies grafisch bedeutet und im Anschluss sehen wir uns Regeln für die Ableitung von Funktionen an.

Beispiel Ableitung grafisch:

Sehen wir uns eine einfache Aufgabe zur Ableitung an. Wir haben eine lineare Gleichung, welche in rot in das x-y-Koordinatensystem eingezeichnet wurde. Um die Steigung (also die Ableitung) zu berechnen, müssen wir uns zwei Punkte auf dem Verlauf der Funktion einzeichnen sowie ein Steigungsdreieck. Wir schreiben uns auf wie lange diese Abschnitte sind (in y-Richtung 2 und in x-Richtung 1).

Funktion / Gleichung Ableitung grafisch Koordinatensystem

Im Anschluss teilen wir y durch x. Dies ist die Steigung, abgekürzt mit "m".

Funktion Ableitung grafisch Steigung

Die Steigung der Funktion ist damit m = 2. In der Analysis verwendet man dazu auch eine Formel bei der man die Lage von zwei ausgewählten Punkten einsetzt. Ein Punkt wird mit x und y angegeben. Bei der eben besprochnen Funktion liegt ein Punkt bei P1(1;2) und der zweite bei P2(2;4). Die Steigung der Funktion lässt sich berechnen, in dem man die beiden y-Werte voneinander subtrahiert und dividiert durch die Subtraktion der beiden x-Werte.

Funktion / Gleichung Ableitung Steigung Formel

Dies ist natürlich umständlich, denn meistens möchte man eine Funktion nicht zeichnen und außerdem sind Funktionen oft komplizierter, da die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedlich groß ist. Aus diesem Grund gibt es Regeln zur Ableitung von Funktionen. Dazu mehr im nächsten Abschnitt.

Funktion ableiten Beispiele

Es gibt zahlreiche Ableitungsregeln um Funktionen abzuleiten (Beispiele weiter unten). Für die Ableitung einer einfachen Gleichung reichen Regeln wie die Faktorregel, Potenzregel oder Summenregel. Liegt eine Multiplikation von zwei Funktionen vor, benötigt ihr die Produktregel. Brüche werden mit der Quotientenregel abgeleitet. Sind Funktionen verkettet wie bei Logarithmen, Wurzel, Klammer und E-Funktion wird die Kettenregel benötigt.

Faktoren ableiten:

Faktoren bleiben bei der Ableitung erhalten:

Faktorregel Beispiel 1 mit Potenzregel Lösung

Dieses Beispiel und weitere unter Faktorregel Ableitung.

Potenzen ableiten::

Faktorregel Beispiel 1 mit Potenzregel Aufgabe

Dieses Beispiel und mehr unter Potenzregel Ableitung.

Summen ableiten:

Summen und Differenzen von Funktionen werden einzeln abgeleitet.

Summenregel Beispiel 3 mit Potenzregel

Wie dies geht lernt ihr unter Summenregel / Differenzregel Ableitung.

Produkte Ableitung:

Produktregel Ableitung Beispiel 1 Aufgabe

Die Ableitung von Produkten besprechen wir unter der Produktregel Ableitung.

Funktion ableiten Brüche:

Bruch Ableitung Beispiel 1 Aufgabe

Wie man Brüche ableitet lernt ihr unter Quotientenregel Ableitung oder Bruch Ableitung.

Ableitung Funktion Kettenregel:

Eine Funktion ableiten mit Klammer oder Wurzel könnt ihr mit der Kettenregel. Zum Beispiel solche Funktionen:

Kettenregel Beispiele

Wie dies geht findet ihr unter Kettenregel Ableitung.

Aufgaben / Übungen Funktion Ableitung

Aufgabe 1:

Bildet man eine Ableitung von einer Funktion / Gleichung, dann interessiert man sich in den meisten Fällen für...

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Video Ableitung

Kettenregel Beispiele und Erklärung

Die Ableitungsregel Kettenregel ist eine der schwierigsten Regeln zur Ableitung einer Funktion. Aus diesem Grund sehen wir uns diese Regel einmal im nächsten Video etwas genauer an:

  • Ableitungsregel: Kettenregel erklärt.
  • Innere und äußere Funktion ableiten für die Gleichung.
  • Klammer mit Potenz ableiten im ersten Beispiel.
  • Ableitung einer Sinus-Funktion im zweiten Beispiel.
  • Zum Ableiten einer E-Funktion gibt es das dritte Beispiel.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zu Funktionen ableiten

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch einige Frage mit Antworten zu Ableitungsregeln an.

F: Wann werden Funktion in der Schule abgeleitet?

A: Ableitungen von Funktionen oder Gleichungen werden in der Regel ab der 10. Klasse in der Mathematik behandelt. Das Thema begleitet Schüler und Schülerinnen in der Regel in der kompletten Oberstufe. Auch im Studium sind Ableitungsfunktionen oft ein Thema. Sie kommen in Technik, Naturwissenschaften, Ökonomie und mehr vor.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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