Monotonie / Monotonieverhalten

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 17. Juli 2019 um 17:13 Uhr

Was Monotonie bzw. das Monotonieverhalten sind und wie man dieses berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was Monotonie ist.
  • Beispiele für grafisches und rechnerisches Monotonieverhalten.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Ableitungen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Um die Monotonie berechnen zu können, solltet ihr bereits Ableitungsregeln kennen.


Monotonie Erklärung

Klären wir erst einmal ganz kurz was man unter Monotonie bzw. Monotonieverhalten zu verstehen hat. Eine Definition:

Hinweis:

Unter der Monotonie bzw. dem Monotonieverhalten einer Funktion versteht man das Steigungsverhalten der Funktion. Wie eine Funktion steigt (oder fällt) lässt sich meistens durch das Zeichnen der Funktion erkennen oder durch Analyse der Ableitungen.

Die nächste Grafik zeigt den Verlauf einer Funktion in einem x-y-Koordinatensystem.

Monotonie / Monotonieverhalten

Man unterscheidet zwischen (streng) monoton wachsend und (streng) monoton fallend:

  • Streng monoton wachsend bedeutet, dass die Funktion in einem Bereich nur steigt, sprich der Verlauf nur nach oben geht (nie seitlich, nie abwärts). Der Funktionswert steigt von links nach rechts an: f(x1) < f(x2).
  • Monoton wachsend bedeutet, dass die Funktion in einem Bereich steigt aber in einem Teilbereich auch seitlich verläuft (nie abwärts). Der Funktionswert steigt von links nach rechts an oder bleibt gleich (fällt aber nie): f(x1) ≤ f(x2).
  • Streng monoton fallend bedeutet, dass die Funktion nur fällt (nicht seitlich, nicht nach oben). Der Funktionswert fällt von links nach rechts: f(x1) > f(x2).
  • Monoton fallend bedeutet, dass in einem Bereich die Funktion teils abwärts und teils seitlich läuft (nie steigt). Der Funktionswert fällt oder bleibt gleich: f(x1) ≥ f(x2).

Funktionen können je nach Bereich ein unterschiedliches Monotonieverhalten aufweisen.




Monotonieverhalten Beispiel

Im nächsten Beispiel soll das Monotonieverhalten untersucht werden.

Beispiel 1: Monotonie beschreiben

Wir haben die folgende Funktion. Beschreibe (grafisch) und rechnerisch das Monotonieverhalten.

Monotonie Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Eine Möglichkeit besteht darin die Funktion zu zeichnen und sich das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) anzusehen. Hier erkennt man, dass die Funktion zunächst steigt. Bei dem "Berg" links muss ein Hochpunkt liegen. Danach fällt die Funktion bis ein Tal mit einem Tiefpunkt erreicht wird. Danach steigt die Funktion wieder.

Monotonie Beispiel 1 Grafik

Wo die Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt) genau liegen sieht man der Funktion hier nur schwer an. Außerdem sollen diese rechnerisch ermittelt werden.

Dazu leiten wir die Funktion ab und berechnen die Nullstellen der ersten Ableitung. Diese liegen bei x = -1 und x = +2. Wer bei der ersten Ableitung x2 - x - 2 die Nullstellen nicht sieht kann auch die Binomischen Formeln oder die PQ-Formel verwenden. Wir bilden die zweite Ableitung und setzen dort für x nun -1 und +2 ein. Bei x = -1 ist das Ergebnis -3. Daher liegt hier ein Hochpunkt vor. Für x = 2 erhalten wir +3 als Ergebnis, daher liegt ein Tiefpunkt vor. Dies passt zur Grafik von weiter oben.

Monotonie Beispiel 1 Lösung

Wichtig:

  • Ein Hochpunkt bedeutet, dass wir über einen Berg müssen.
    • Erst hoch, dann runter.
    • Also erst (streng) monoton steigend, danach (streng) monoton fallend.
  • Ein Tiefpunkt bedeutet, dass wir durch ein Tal müssen.
    • Erst runter, dann hoch.
    • Also erst (streng) monoton fallend, danach (streng) monoton steigend.

Aufgaben / Übungen Monotonie

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal ein paar Verständnisfragen bzw. Wissensfragen:

  • Ein Funktionsverlauf steigt durchgehend von links unten nach rechts oben. Wie nennt man dies?
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Video Extrempunkte

Beispiele und Erklärungen

Um das Monotonieverhalten zu untersuchen sucht man Extrempunkte. Aus diesem Grund sehen wir uns dies im nächsten Video an:

  • Was sind Extrempunkte?
  • Was ist ein Hochpunkt?
  • Was ist ein Tiefpunkt?
  • Wie sehen solche Extrempunkte aus?
  • Wie berechne ich diese Punkte?
  • Eine Aufgabe wird vorgerechnet und erläutert.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zur Monotonie

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Monotonie an.

F: Wie geht man vor wenn man Extremstellen bestimmen möchte?

A: Um die Monotonie zu erkennen berechnet man Extremstellen. Hier eine kleine Anleitung dazu, wie man dies tut:

  • Erste Ableitung bilden
  • Wir setzen die erste Ableitung gleich Null und berechnen x.
  • Zweite Ableitung bilden.
  • In diese zweite Ableitung setzen wir die berechneten x-Werte der ersten Ableitung ein.
    • Ist dies größer 0 liegt ein Tiefpunkt vor.
    • Ist dies kleiner 0 liegt ein Hochpunkt vor.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt
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