Monotonie / Monotonieverhalten

Was Monotonie bzw. das Monotonieverhalten sind und wie man dieses berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was Monotonie ist.
• Beispiele für grafisches und rechnerisches Monotonieverhalten.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu Ableitungen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Um die Monotonie berechnen zu können, solltet ihr bereits Ableitungsregeln kennen.

Monotonie Erklärung

Klären wir erst einmal ganz kurz was man unter Monotonie bzw. Monotonieverhalten zu verstehen hat. Eine Definition:

Die nächste Grafik zeigt den Verlauf einer Funktion in einem x-y-Koordinatensystem.

Man unterscheidet zwischen (streng) monoton wachsend und (streng) monoton fallend:

• Streng monoton wachsend bedeutet, dass die Funktion in einem Bereich nur steigt, sprich der Verlauf nur nach oben geht (nie seitlich, nie abwärts). Der Funktionswert steigt von links nach rechts an: f(x₁) < f(x₂).
• Monoton wachsend bedeutet, dass die Funktion in einem Bereich steigt aber in einem Teilbereich auch seitlich verläuft (nie abwärts). Der Funktionswert steigt von links nach rechts an oder bleibt gleich (fällt aber nie): f(x₁) ≤ f(x₂).
• Streng monoton fallend bedeutet, dass die Funktion nur fällt (nicht seitlich, nicht nach oben). Der Funktionswert fällt von links nach rechts: f(x₁) > f(x₂).
• Monoton fallend bedeutet, dass in einem Bereich die Funktion teils abwärts und teils seitlich läuft (nie steigt). Der Funktionswert fällt oder bleibt gleich: f(x₁) ≥ f(x₂).

Funktionen können je nach Bereich ein unterschiedliches Monotonieverhalten aufweisen.

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Monotonieverhalten Beispiel

Im nächsten Beispiel soll das Monotonieverhalten untersucht werden.

Beispiel 1: Monotonie beschreiben

Wir haben die folgende Funktion. Beschreibe (grafisch) und rechnerisch das Monotonieverhalten.

Lösung:

Eine Möglichkeit besteht darin die Funktion zu zeichnen und sich das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) anzusehen. Hier erkennt man, dass die Funktion zunächst steigt. Bei dem "Berg" links muss ein Hochpunkt liegen. Danach fällt die Funktion bis ein Tal mit einem Tiefpunkt erreicht wird. Danach steigt die Funktion wieder.

Wo die Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt) genau liegen sieht man der Funktion hier nur schwer an. Außerdem sollen diese rechnerisch ermittelt werden.

Dazu leiten wir die Funktion ab und berechnen die Nullstellen der ersten Ableitung. Diese liegen bei x = -1 und x = +2. Wer bei der ersten Ableitung x² - x - 2 die Nullstellen nicht sieht kann auch die Binomischen Formeln oder die PQ-Formel verwenden. Wir bilden die zweite Ableitung und setzen dort für x nun -1 und +2 ein. Bei x = -1 ist das Ergebnis -3. Daher liegt hier ein Hochpunkt vor. Für x = 2 erhalten wir +3 als Ergebnis, daher liegt ein Tiefpunkt vor. Dies passt zur Grafik von weiter oben.

Wichtig:

• Ein Hochpunkt bedeutet, dass wir über einen Berg müssen.
  • Erst hoch, dann runter.
  • Also erst (streng) monoton steigend, danach (streng) monoton fallend.
• Ein Tiefpunkt bedeutet, dass wir durch ein Tal müssen.
  • Erst runter, dann hoch.
  • Also erst (streng) monoton fallend, danach (streng) monoton steigend.

Aufgaben / Übungen Monotonie

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal ein paar Verständnisfragen bzw. Wissensfragen:

• Ein Funktionsverlauf steigt durchgehend von links unten nach rechts oben. Wie nennt man dies?

• monoton fallend
• streng monoton fallend
• streng monoton steigend
• Konstanter Funktionswert

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Video Extrempunkte

Fragen mit Antworten zur Monotonie