Verhalten im Unendlichen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 09. November 2019 um 17:48 Uhr

Was das Verhalten im Unendlichen ist und wie man es berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was man unter dem Verhalten im Unendlichen versteht.
  • Beispiele für die Berechnung dieser Grenzwerte.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Grenzwerten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was ein Bruch ist und wie man eine Funktion zeichnet. Wer davon noch keine Ahnung hat, liest dies bitte erst einmal nach. Ansonsten startet gleich mit dem Verhalten im Unendlichen.


Verhalten im Unendlichen einfach erklärt

Wann und wo sieht man sich das Verhalten im Unendlichen an?

Hinweis:

In der Kurvendiskussion interessiert man sich sehr oft für bestimmte Grenzwerte. Dafür untersucht man, was bei Funktionen passiert, wenn unendlich große Werte oder unendlich kleine Werte eingesetzt würden. Dies kann man zum Beispiel durch logische Überlegungen oder das Einsetzten großer oder kleiner Zahlen sowie mathematischer Regeln erreichen.

Verhalten im Unendlichen Graph:

Sehen wir uns eine ganz einfache Einleitung zu diesem Thema an. Die nächste Grafik zeigt die Funktion f(x) = x2 in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Werft einen Blick darauf:

Verhalten im Unendlichen Einleitung

Wie sieht das Verhalten dieser Funktion im Unendlichen aus? Eine Funktion kann man natürlich nicht bis ins Unendliche zeichnen. Aber man sieht hier ganz klar, dass wenn die x-Werte größer werden auch die y-Werte größer werden. Macht man die x-Werte immer kleiner ( -5, -10, -20, -100 und so weiter) werden die y-Werte ebenfalls immer größer.

In beiden Fällen laufen die y-Werte damit gegen unendlich. Das Zeichen für unendlich ist eine "umgefallene" 8. Um zu zeigen, dass man den Grenzwert sucht - also maximal zu einem Ziel strebt - wird der Limes verwendet, abgekürzt lim. Und dann muss man sich entscheiden, ob man gegen plus unendlich laufen möchte (100, 1000, 10000, ...) oder gegen minus unendlich (-100, -1000, -10000, ...).

Verhalten im Unendlichen Einführung




Verhalten im Unendlichen Beispiele

Bei Funktionen wie y = x2 ist es sehr einfach die Grenzwerte - also in unseren Fällen das Verhalten im Unendlichen - zu ermitteln. Wie sieht dies jedoch bei komplizierten Funktionen aus? Dazu sehen wir uns Beispiele für ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen sowie E-Funktionen an und Wurzeln. Um diesen Artikel nicht extrem in die Länge zu ziehen, zeigen wir euch kurz das Beispiel und verlinken auf die ausführliche und einfach erklärte Lösung darunter.

Die Beispiele findet ihr unter:

Ganzrationale Funktion

Starten wir mit dem Verhalten im Unendlichen für eine ganzrationale Funktion. Dabei soll das Verhalten gegen plus unendlich und minus unendlich bestimmt werden. Ganzrationale Funktionen sind zum Beispiel:

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 1

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 2

Diese ganzrationalen Funktionen 2. und 3. Grades findet ihr untersucht unter:

Gebrochenrationale Funktion:

Als nächstes sehen wir uns das Verhalten von Funktionen im Unendlichen an wenn diese gebrochenrational sind. Drei Beispiele werden vorgerechnet:

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 5

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 7

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 9

Diese Beispiele rechnen wir vor unter:

E-Funktion / Wurzel:

Auch bei E-Funktionen und Wurzelfunktionen sieht man sich das Verhalten gegen plus unendlich und minus unendlich an. Diese beiden Beispiele rechnen wir euch vor:

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 10

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 11

Diese Beispiele rechnen wir vor unter:


Aufgaben / Übungen Verhalten im Unendlichen

Aufgabe 1:

  • Wie sieht das Verhalten der folgenden Funktion gegen plus unendlich aus?

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 1

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Video Grenzwerte

Verhalten im Unendlichen

Im nächsten Video wird das Verhalten von Funktionen bzw. Gleichungen gegen plus und minus unendlich behandelt. Zum besseren Verständnis werden dazu auch sehr große und sehr kleine Zahlen eingesetzt. Außerdem werden Beispiele vorgerechnet.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zum Verhalten im Unendlichen

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zum Verhalten im Unendlichen an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen stets meistens ab der 10. Klasse oder spätestens ab der 11. Klasse zumindest einmal kurz auf dem Lehrplan. Es begleitet die Schüler und Schülerinnen jedoch durch die Oberstufe im Bereich Analysis. Oft kommt auch im Abitur eine Aufgabe zu diesem Thema.

F: Welche Themen sollte ich zum Verhalten im Unendlichen kennen?

A: Diese Themen solltet ihr lernen, falls noch nicht geschehen:

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt
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