Ableitung ln (natürlicher Logarithmus)

Mit der Ableitung von ln (natürlicher Logarithmus) befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man ln ableitet.
• Beispiele für die Ableitung vom natürlichen Logarithmus.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zur Logarithmus-Ableitung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist sinnvoll wenn ihr bereits wisst, was ein Logarithmus ist und die Kettenregel kennt. Noch keine Ahnung davon? Werft einen Blick in die Logarithmus Grundlagen und die Kettenregel.

Ableitung ln Erklärung

Wie kann man den natürlichen Logarithmus ableiten? Im einfachsten Fall muss einfach nur ln(x) abgeleitet werden. Aus einer Tabelle für Ableitungen kann man dies entnehmen:

Wir erhalten als Ableitung von ln(x) den Bruch 1 : x. In den meisten Fällen ist die natürliche Logarithmusfunktion jedoch komplizierter. Daher sehen wir uns anspruchsvollere ln-Ableitungen an.

Beispiel 1: ln Ableitung

Wie lautet die erste Ableitung der folgenden Gleichung mit ln?

Lösung:

Zur Ableitung von Funktionen mit ln wir die Kettenregel benutzt. Dazu unterteilt man f(x) in eine innere Funktion und eine äußere Funktion und bildet von beiden die Ableitung. Die innere Funktion ist dabei v = x + 3, abgeleitet einfach v' = 1. Die äußere Funktion ist der ln von etwas, abgekürzt ln v oder u = ln v. Einer Tabelle für Ableitung kann man entnehmen, dass die erste Ableitung von ln v einfach 1 : v ist. Die Ableitungen die inneren und äußeren Funktion werden miteinander multipliziert und für v wird x + 3 wie am Anfang ermittelt eingesetzt.

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Ableitung ln-Logarithmus Beispiele

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zur ln-Ableitung an.

Beispiel 2: Natürlicher Logarithmus ableiten

Die Ableitung einer Mischung aus natürlichem Logarithmus ln und Sinus-Funktion soll gefunden werden. Wie lautet die erste Ableitung dieser Funktion?

Für die Lösung der Aufgabe wird eine Substitution benötigt. Wem dies nichts mehr sagt wirft einen Blick in den Artikel Substitution.

Lösung:

Um ln-Funktionen abzuleiten, wird die Kettenregel benötigt. Wir substituieren von innen nach außen und beginnen zunächst mit u = 2x - 3. Wir substituieren 2x - 3 durch u. Dadurch vereinfacht sich unsere Funktion zu y = ln (sin(u)). Leider findet man dies nicht in einer Tabelle für Ableitungen. Daher substituieren wir erneut: Wir ersetzen sin(u) durch v. Unsere Funktion vereinfacht sich zu y = ln (v).

Wir haben nun drei kurze Ausdrücke gebastelt, die wir jeweils in einer Ableitungstabelle finden können. Diese Ausdrücke müssen nach der jeweiligen Variable abgeleitet werden. Aus ln v wird durch Ableitung 1 : v.. Aus sin(u) wird cos(u) und 2x - 3 wird zu 2.

Zuletzt multiplizieren wir die drei gefundenen Ableitungen miteinander. Die Substitutionen kehren wir um. Wir setzen für u und v wieder alles von oben ein.

Aufgaben / Übungen ln ableiten

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal eine Frage:

• Welche Ableitungsregel wird typischerweise verwendet um Logarithmusfunktionen abzuleiten?

• Bruchregel
• Kettenregel
• Quotientenregel
• Produktregel

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Video Ableitung Logarithmus

Fragen mit Antworten Logarithmus ableiten