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Sattelpunkt berechnen / Bedingungen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 30. Juni 2019 um 17:18 Uhr

Was der Sattelpunkt ist und wie man diesen berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was Sattelpunkte sind.
  • Beispiele wie man diese Punkte berechnet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Sattelpunkten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Berechnung von Sattelpunkten ist es hilfreich, wenn ihr bereits Ableitungsregeln kennt und auch wisst was ein Wendepunkt ist.

Sattelpunkt Erklärung

Bevor wir rechnen sollten wir kurz klären was ein Wendepunkt bzw. Sattelpunkt ist: Stellt euch vor ihr fahrt mit dem Fahrrad durch eine Strecke mit vielen Kurven. Dabei bewegt ihr das Lenkrad hin und her, also von links nach rechts und wieder zurück. Der Wendepunkt ist die Stelle an dem das Lenkrad gerade steht (also da wo der Übergang von links nach rechts oder umgekehrt ist).

Dieser Punkt oder diese Stelle gibt es auch in der Mathematik. Definition Wendepunkt und Sattelpunkt:

Hinweis:

Der Wendepunkt ist die Stelle an dem dem der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten ändert. Es handelt sich dabei um den Punkt stärkster Zunahme oder stärkster Abnahme. Der Graph der Funktion wechselt hier von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Ist die Steigung (erste Ableitung) in diesem Punkt Null so ist es ein spezieller Typ von Wendepunkt, den man Sattelpunkt nennt.

Die nächste Grafik zeigt einen Sattelpunkt:

Sattelpunkt mit Steigung

Hinweis: Ein Sattelpunkt wird auch als Terrassenpunkt bezeichnet.

Sattelpunkt Bedingungen:

Wie berechnet man den Sattelpunkt jetzt? Dazu prüfen wir zunächst die Funktion auf Wendepunkte und wenn diese gefunden wurden prüfen wir ob der Wendepunkt zusätzlich noch ein Sattelpunkt ist.

Sattelpunkt Bedingungen

Sattelpunkt berechnen Beispiel

Wie kann man einen Sattelpunkt berechnen bzw. bestätigen? In beiden Fällen leitet ihr die Funktion 3 Mal ab, setzt die zweite Ableitung null und prüft ob diese Stelle ungleich Null ist. Ist dies der Fall liegt ein Wendepunkt vor. Ist die erste Ableitung an der Stelle Null ist es auch noch ein Sattelpunkt. Nicht verstanden? Zeit für ein Beispiel.

Beispiel 1: Sattelpunkt berechnen

Wo liegt der Sattelpunkt der folgenden Funktion?

Sattelpunkt Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Mit einfachen Ableitungsregeln berechnen wir zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion.

Sattelpunkt Beispiel 1 Lösung Ableitung

Wir nehmen uns die zweite Ableitung und setzen diese gleich 0. Wir stellen nach x um und erhalten x0 = 0. An dieser Stelle muss die dritte Ableitung ungleich Null sein. Da die dritte Ableitung nur "6" ist kann kein x eingesetzt werden. Da dies jedoch ungleich Null ist haben wir dennoch einen Wendepunkt vorliegen an der Stelle x = 0.

Sattelpunkt Beispiel 1 Lösung Wendepunkt

Ist der Wendepunkt auch ein Sattelpunkt? Dies überprüfen wir indem wir die erste Ableitung nehmen und in diese x = 0 einsetzen. Wir erhalten eine Steigung von 0 an dieser Stelle und daher liegt ein Sattelpunkt vor.

Sattelpunkt Beispiel 1 Lösung Sattelpunkt

Von diesem Sattelpunkt kennen wir bislang nur die x-Stelle mit x = 0. Der Punkt besteht jedoch aus x und y. Daher müssen wir y noch berechnen. In die Funktion f(x) setzen wir daher x = 0 ein und berechnen y = 1.

Sattelpunkt berechnen

Aufgaben / Übungen Sattelpunkt

Aufgabe 1:

Wo liegt der Sattelpunkt dieser Funktion?

Sattelpunkt Aufgabe 1 Aufgabenstellung

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Video Sattelpunkt

Beispiel und Erklärung

Diese sehen wir uns im nächsten Video an:

  • Was ist ein Wendepunkt?
  • Was ist ein Sattelpunkt?
  • Bedingungen Sattelpunkt.
  • Erklärung zu solchen Punkten.
  • Beispiel vorgerechnet und erklärt.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Sattelpunkt

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zum Sattelpunkt an.

F: Ist ein Sattelpunkt eine Extremstelle / Extrempunkt?

A: Nein. Wendepunkte und Sattelpunkte sind keine Extremstellen: Extremstellen behandeln wir unter Extrempunkte berechnen.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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