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Ableitung Logarithmus / Logarithmusfunktion

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 27. Mai 2019 um 15:07 Uhr

Wie man einen Logarithmus bzw. eine Logarithmusfunktion ableitet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man Gleichungen mit Logarithmus ableitet.
  • Beispiele wie man mit der Kettenregel logarithmen ableitet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Ableitungsregeln.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich wenn ihr bereits wisst was ein Logarithmus ist und die Kettenregel kennt. Wer davon noch keine Ahnung hat wirft einen Blick in die Logarithmus Grundlagen und Kettenregel.

Logarithmus Ableitung Erklärung

Zunächst ein kurzer Hinweis:

Hinweis:

Wird von der Logarithmus Ableitung gesprochen, dann ist meistens die Ableitung mit dem natürlichen Logarithmus ln gemeint. Wir starten daher hier zunächst mit der ln-Ableitung und sehen uns weiter unten noch die log-Ableitung an.

Starten wir mit der Ableitung vom natürlichen Logarithmus. Aus einer Tabelle für Ableitungen kann man zunächst die Ableitung von ln(x) entnehmen. Diese ist 1 : x. Dies ist eine wichtige Grundlage für die folgenden Beispiele und Aufgaben.

Ableitung ln Formel

So einfach ist es selten. Daher sehen wir uns anspruchsvollere Logarithmusfunktionen zum Ableiten an.

Beispiel 1: Ableitung Logarithmus

Wie lautet die erste Ableitung der folgenden Logarithmusfunktion?

Logarithmus Ableiten Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Logarithmusfunktionen werde mit der Kettenregel abgeleitet. Dazu unterteilt man f(x) in eine innere Funktion und eine äußere Funktion und leitet beide jeweils ab. Die innere Funktion ist dabei x + 3, abgeleitet einfach 1. Die äußere Funktion ist der ln von irgendetwas, abgekürzt ln v. Einer Ableitungstabelle kann man entnehmen, dass die Ableitung von ln v einfach 1 : v ist. Beide Ableitungen werden miteinander multipliziert und für v wird v = x + 3 wie am Anfang festgelegt eingesetzt.

Logarithmus Ableitung Beispiel 1 Lösung

Logarithmus Ableitung Beispiele

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum Ableiten von einem natürlichen Logarithmus an sowie eine log-Ableitung.

Beispiel 2: Natürlicher Logarithmus ableiten

Die Ableitung einer Mischung aus natürlichem Logarithmus und Sinus-Funktion soll gefunden werden. Wie lautet die 1. Ableitung dieser Gleichung?

Ableitung Logarithmus Beispiel 2 Aufgabe

Ein Hinweis: Für die Lösung wird eine Substitution benötigt. Wer nicht mehr weiß was dies ist wirft einen Blick in den Artikel Substitution.

Lösung:

Um Logarithmus-Funktionen abzuleiten, wird die Kettenregel benötigt. Um die Ableitung durchzuführen arbeiten wir uns von innen nach außen. Daher substituieren wir zunächst mit u = 2x - 3. Wir ersetzen also 2x - 3 durch u. Dadurch vereinfacht sich unsere Gleichung zu y = ln (sin(u)). Dies findet man jedoch auch nicht in einer Ableitungstabelle. Daher substituieren wir erneut. Wir ersetzen sin(u) durch v. Unsere Gleichung vereinfacht sich zu y = ln (v).

Ableitung Logarithmus Beispiel 2 Lösung Teil 1

Wir haben nun drei Funktionen gebastelt, die wir jeweils in einer Ableitungstabelle finden können. Diese müssen nach der jeweiligen Variable abgeleitet werden. Aus ln v wird dadurch 1 : v. Aus sin(u) wird cos(u) und 2x - 3 ist abgeleitet 2.

Ableitung Logarithmus Beispiel 2 Lösung Teil 2

Zuletzt multiplizieren wir die drei Ableitungen miteinander. Dabei sollten wir die Substitutionen rückgängig machen. Wir setzen für u und v wieder alles von oben ein.

Ableitung Logarithmus Beispiel 2 Lösung Teil 3

Beispiel 3: Log-Ableitung

Im folgenden Beispiel soll eine log-Funktion abgeleitet werden. Wie lautet die erste Ableitung der nächsten Gleichung?

Ableitung Logarithmus Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Der allgemeine Zusammenhang um log-Funktionen abzuleiten lautet wie folgt:

Ableitung Logarithmus Formel

In diese Gleichung müssen wir einfach nur a = 2 und x = 16 einsetzen, sowohl in der Ausgangsfunktion als auch in der Ableitung. Im letzten Schritt kann der Bruch noch berechnet werden.

Ableitung Logarithmus Beispiel 3 Lösung

Aufgaben / Übungen Logarithmusableitung

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal eine Frage:

  • Welche Ableitungsregel wird typischerweise verwendet um Logarithmusfunktionen abzuleiten?
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Video Ableitung Logarithmus

Formel und Beispiele

In diesem Video sehen wir uns die folgenden Themen an:

  • Grundlagen ln x ableiten
  • Kettenregel einsetzen
  • Beispiel 1 mit ln(3x)
  • Beispiel 2 mit ln(2x + 5)

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Logarithmus ableiten

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Ableitung vom Logarithmus an.

F: Wann kommt die Logarithmusableitung in der Schule vor?

A: Ableitungen stehen in der Regel ab der 10. Klasse auf dem Lehrplan, spätestens ab der 11. Klasse kommt diese jedoch vor. Sie wird in der Regel im Zusammenhang mit der Kettenregel besprochen. Es lohnt sich dieses Thema auch für das Abitur zu lernen.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Kettenregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
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