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Ableitung E-Funktion

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 04. Juni 2019 um 19:23 Uhr

Wie man eine E-Funktion ableitet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, warum die E-Funktion so besonders ist.
  • Beispiele für das Ableiten von E-Funktionen.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Kettenregel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich wenn ihr bereits Exponentialfunktionen und die Kettenregel kennt. Falls nicht könnt ihr dies gerne noch nachlesen.

E-Funktion ableiten

Klären wir zunächst warum die E-Funktion so besonders ist.

Hinweis:

Das besondere an der E-Funktion ist, dass die einfache E-Funktion f(x) = ex abgeleitet ebenfalls wieder ex ist. Dies bedeutet, dass f'(x) = ex ist. Die Funktion f(x) hat damit eine identische Steigung wie f'(x).

E-Funktion ableiten Beispiel 1

In den meisten Fällen liegt jedoch nicht einfach nur e hoch x vor, sondern es sind Funktionen bzw. Gleichungen, die etwas anspruchsvoller sind. Daher sehen wir uns nun die Ableitung von Funktionen an, bei denen "e" mit beteiligt ist.

Beispiel 1: Kettenregel für E-Funktion

Wie lautet die erste Ableitung dieser E-Funktion?

Ableitung E-Funktion Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

E-Funktionen werden mit der Kettenregel abgeleitet. Um diese anzuwenden muss man nach innerer und äußerer Funktion unterteilen. Die innere Funktion ist der Exponent mit 3x - 5. Wir leiten diesen mit der Potenzregel ab und erhalten v'(x) = 3. Die äußere Funktion ist e hoch irgendetwas, abgekürzt mit ev. Die Ableitung von e hoch irgendetwas oder kurz ev bleibt e hoch irgendwas oder kurz ev. Innere und äußere Ableitung werden miteinander multipliziert und für v setzen wir wie am Anfang festgelegt wieder 3x - 5 ein.

Ableitung E-Funktion Beispiel 2 Lösung

E-Funktion: Produktregel und Kettenregel

Sehen wir uns ein komplizierteres Beispiel an, bei welchem für die Ableitung die Produktregel und die Kettenregel gebraucht wird.

Beispiel 2: Produktregel und Kettenregel

Wie lautet die erste Ableitung der folgenden Funktion?

Ableitung E-Funktion Produktregel und Kettenregel Aufgabe

Lösung:

Steht es nicht in der Aufgabenstellung muss man zunächst verstehen welche Ableitungsregeln benötigt werden. Wirft man einen Blick auf die Gleichung sieht man innerhalb der Klammer eine Potenz. Am Ende gibt es eine E-Funktion mit -2x im Exponenten, was auf eine Kette hindeutet. Die Gleichung ist aus zwei Funktionen zusammengesetzt, welche jeweils ein x beinhalten. Daher haben wir ein Produkt.

Ableitung E-Funktion Produktregel und Kettenregel, Ableitungsregel erkennen

Für die erste Ableitung benutzen wir zunächst die Produktregel. Wir unterteilen dazu die Gleichung in u = 2x2 + 5 und v = e-2x. Die Ableitung von 2x2 + 5 lässt sich mit der Potenzregel zu u' = 4x einfach ermitteln. Etwas schwieriger wird es mit der E-Funktion. Hier gilt:

  • Erste Ableitung = Innere Ableitung mal äußere Ableitung

Um die Kettenregel anzuwenden zu können leiten wir den Exponenten ab. Für die innere Ableitung der Funktion wird aus -2x die innere Ableitung -2. Die äußere Ableitung der Funktion bleibt erhalten, bleibt damit e-2x. Multiplizieren wir -2 mit e-2x erhalten wir die Ableitung v' = -2e-2x. Für u, u', v und v' setzen wir alles in den allgemeinen Zusammenhang für die Produktregel ein und erhalten dadurch die Ableitung.

Ableitung E-Funktion Produktregel und Kettenregel Lösung

Aufgaben / Übungen E-Funktion ableiten

Aufgabe 1:

Fangen wir etwas einfacher an:

  • Wie lautet die Ableitung von f(x) = ex?
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Du hast 0 von 3 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Kettenregel

E-Funktion und Ketten ableiten

Dies sehen wir uns im nächsten Video zur Ableitungsregel Kettenregel an:

  • In welchen Fällen braucht man die Kettenregel?
  • Vorgehen: Ableitung innere und äußere Funktion
  • Aufgabe 1 zur Potenz mit Klammer ableiten.
  • Aufgabe 2 zur Ableitung eines Sinus.
  • Aufgabe 3 zur Ableitung einer E-Funktion.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten E-Funktion Ableitung

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Ableitung der E-Funktion an.

F: Wann wird die Ableitung der E-Funktion behandelt?

A: Die Ableitung der E-Funktion wird meistens ab der 11. Klasse in der Schule behandelt. Sie ist Teil der Ableitungsrechnung bzw. der Analysis und kommt auch nach der 11. Klasse vor sowie im Abitur (in allen Bundesländern nach meinem Wissensstand). Das Bilden von Ableitungen ist auch ein wichtiger Bestandteil in vielen Studienfächern von Naturwissenschaften über Wirtschaft bis zur Technik.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Kettenregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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