Azubiworld partner

Quotientenregel Ableitung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 10. Mai 2019 um 22:48 Uhr

Die Quotientenregel für Ableitungen lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was die Quotientenregel ist.
  • Beispiele wie man diese Ableitungsregel anwendet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Quotientenregel.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Ableitungsregeln um Funktionen oder Gleichungen abzuleiten. Bevor ihr euch die Quotientenregel hier anseht, solltet ihr die Grundlagen der Ableitung kennen sowie die Potenzregel.

Quotientenregel Erklärung

Es gibt verschiedene Regeln in der Mathematik um Funktionen abzuleiten. Eine dieser Ableitungsregeln ist die Quotientenregel.

Hinweis:

Die Quotientenregel ist eine Ableitungsregel der Mathematik. Mit der Quotientenregel werden Brüche abgeleitet. Die verkürzte allgemeine Schreibweise für die Ableitung lautet wie folgt:

Quotientenregel Formel

Beispiel 1: Quotientenregel anwenden

Wie lautet die 1. Ableitung des folgendes Bruchs? Eine Vereinfachung ist nicht nötig.

Quotientenregel Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir unterteilen den Quotienten in Zähler und Nenner. Dabei setzen wir den Zähler u = 3x5 und den Nenner v = 10x - 1. Mit der Potenzregel leiten wir beides ab. Dabei erhalten wir für die Ableitung vom Zähler u' = 3 · 5x4. Im Nenner bleibt bei der Ableitung nur die 10 übrig. Im Anschluss setzen wir die allgemeine Gleichung für die Ableitung ein. Beachtet dabei die farbigen Unterstreichungen.

Quotientenregel mit Potenzregel Beispiel 1 Lösung

Quotientenregel 2. Ableitung und Kettenregel

In diesem Abschnitt gibt es zwei weitere Beispiele. Im zweiten Beispiel wird zusätzlich noch die Kettenregel benötigt. Im dritten Beispiel soll die Quotientenregel zwei Mal eingesetzt werden um die 2. Ableitung zu berechnen.

Beispiel 2: Quotientenregel und Kettenregel

Wie lautet die erste Ableitung der nächsten Funktion? Vereinfache im Anschluss.

Quotientenregel Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Auch in diesem Beispiel unterteilen wir nach Zähler und Nenner. Dabei setzen wir u = 2e3x und v = x2. Die x2 sind mit der Potenzregel recht einfach abzuleiten und bringen uns v' = 2x. Bei 2e3x muss die Kettenregel für die Ableitung eingesetzt werden. Der Faktor 2 vorne bleibt erhalten. Im Anschluss muss innere mal äußere Ableitung für die Kettenregel berechnet werden. Der Exponent 3x abgeleitet ergibt einfach 3 und e3x bleibt erhalten. Danach setzen wir alle vier Angaben in die allgemeine Quotientenformel ein.

Quotientenregel Beispiel 2 Lösung

Fehlt uns noch die Vereinfachung der ersten Ableitung. Während der Zähler einfach zusammen zu fassen ist, muss man beim Nenner aufpassen. Hier muss bei der Multiplikation von x2 · x2 beachtet werden, dass die beiden Exponenten addiert werden. Wir erhalten als neuen Exponenten 2 + 2 = 4. Im Anschluss kürzen wir x in Zäher und Nenner. Als letzten Schritt Klammern wir 2e3x aus.

Quotientenregel Beispiel 2 Lösung vereinfacht

Beispiel 3: Quotientenregel 2. Ableitung

Dies soll mit der nächsten Funktion gemacht werden:

  • Die 1. Ableitung bestimmen.
  • Die 1. Ableitung vereinfachen.
  • Den letzten Bruch der 1. Ableitung raus suchen.
  • Mit diesem Bruch die 2. Ableitung berechnen.

Quotientenregel Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Wir verwenden zunächst die Quotientenregel um die erste Ableitung zu berechnen. Dazu setzen wir den Zähler u = 3x8 und den Nenner v = 2x3. Mit der Potenzregel bilden wir jeweils die Ableitung. Dabei reduziert sich jeweils der Exponent um 1. Der ursprüngliche Exponent wird jeweils mit dem Faktor davor multipliziert. In die allgemeine Formel der Quotientenregel werden alle Angaben eingesetzt (Siehe farbige Unterstreichungen). Im Anschluss vereinfachen wir Zähler und Nenner und kürzen.

Quotientenregel Beispiel 3 Lösung

Hinweis: Es soll die 2. Ableitung mit der Quotientenregel berechnet werden. Selbstverständlich kann f'(x) = 7,5x4 auch mit der Potenzregel abgeleitet werden.

Kommen wir zur 2. Ableitung mit der Quotientenregel. Dazu nehmen wir die letzte Variante der ersten Ableitung mit f'(x) = 15x4 : 2. Wir setzen u = 15x4 und v = 2. Beides leiten wir mit der Potenzregel ab und vereinfachen im Anschluss.

Quotientenregel Beispiel 3 Lösung 2. Ableitung

Aufgaben / Übungen Quotientenregel

Aufgabe 1:

Starten wir mit einer Frage bevor ihr Funktionen / Gleichungen ableiten sollt:

  • Wann setzt man die Quotientenregel ein?
Überspringen »


Du hast 0 von 3 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Quotientenregel

Erklärung und Beispiele

Dies sehen wir uns im nächsten Video zu Ableitungsregeln an:

  • Ableitungsregel: Was die Produktregel ist und wozu man diese braucht.
  • Vorgerechnete Aufgaben für den Einsatz der Produktregel.
  • Ableitungsregel: Was die Quotientenregel ist und wozu man diese braucht.
  • Vorgerechnete Aufgaben für den Einsatz der Quotientenregel.

Kurz gesagt: Die beiden Regeln Produktregel und Quotientenregel werden vorgestellt.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Quotientenregel

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Quotientenregel als Ableitungsregel an.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Quotientenregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

F: Wann wird die Quotientenregel behandelt?

A: Die Quotientenregel wird meistens ab der 11. Klasse in der Schule behandelt und kommt oft im Abitur vor. Ebenso wird in zahlreichen verschiedenen Studienfächern die Quotientenregel behandelt. Dies sind primär Studienfächer mit Technik, Naturwissenschaften und Wirtschaft.

F: Welche Themen gibt es noch in der Oberstufe?

A: Neben der Ableitungsrechnung inklusive der Quotientenregel steht die Integralrechnung auf dem Schulplan der Oberstufe und Abitur. Darüber hinaus steht die analytische Geometrie inklusive der Vektorrechnung und die Wahrscheinlichkeitsrechnung / Stochastik / Statistik auf dem Plan.


Neue Artikel

114 Gäste online