Punktsymmetrie zu beliebigem Punkt

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 29. Juli 2019 um 19:23 Uhr

Mit der Punktsymmetrie zu einem beliebigem Punkt befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man Punktsymmetrie zu einem Punkt erkennt.
  • Beispiele wie man diese Art der Punktsymmetrie prüft.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zur Symmetrie von Funktionen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Es ist hilfreich wenn ihr bereits wisst wie man die Punksymmetrie zum Ursprung erkennt. Diese ist deutlich einfacher zu bestimmen und sollte daher als Grundwissen bei euch vorhanden sein.


Erklärung Punktsymmetrie zu Punkt

In der Oberstufe bis hin um Abitur steht in Mathematik die Kurvendiskussion auf dem Lehrplan. Ein Teil der Kurvendiskussion ist die Untersuchung auf Punktsymmetrie. Dabei unterscheidet man zwei typische Untersuchungen:

Wichtig: Man kann noch weitere Dinge in der Symmetrie untersuchen. Aber diese beiden Punkte werden sehr oft betrachtet. Hier sehen wir uns die Punktsymmetrie zu einem beliebigem Punkt an.

Der Funktionsgraph der nächsten Funktion zeigt die Funktion f(x) = (x - 2)3 - 1. Wie man auf den ersten Blick sieht ist diese nicht zum Ursprung punktsymmetrisch. Aber wie sieht es denn bei x = 2 aus? Dies sehen wir uns gleich rechnerisch weiter unten an.

Punktsymmetrie zu einem Punkt Graph

Um zu prüfen, ob es eine Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt gibt verwendet man die nächste Gleichung. Dazu haben wir einen beliebigen Punkt mit x und y-Koordinate und setzen diese in die Gleichung im Anschluss ein.

Punktsymmetrie zu einem Punkt Formel




Beispiel Punktsymmetrie zu Punkt rechnerisch

Sehen wir uns die Aufgabe zum Graphen weiter oben rechnerisch an.

Beispiel 1: Punktsymmetrie zu Punkt

Wir haben die nächste Funktion und einen Punkt. Ist die Funktion punktsymmetrisch zu diesem Punkt?

Punktsymmetrie zu Punkt Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir lesen beim Punkt direkt x0 = 2 und y0 = -1 einfach ab. Im Anschluss müssen wir die Funktion testen. Wir nehmen dazu einfach die rechte Seite der Funktion mit (x - 2)3 - 1 und setzen für jedes Mal wo x vorkommt einfach x0 + h dafür ein. Dadurch wird aus (x - 2) nun (x0 + h - 2). Da x0 = 2 ist können wir auch gleich 2 schreiben Die -1 bleibt stehen und im Anschluss brauchen wir noch - y0. Da y0 = -1 ist wird daraus - (-1).

Punktsymmetrie zu einem Punkt Beispiel 1 Lösung Teil 1

Im zweiten Schritt benötigen wir noch -f(x0 - h) + y0. Dies bedeutet zunächst das wir vor die ganze Funktion ein Minuszeichen schreiben, sprich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer werden sich bei der Rechnung umdrehen. Ansonsten müssen wir wieder aus x nun x0 - h machen. Aus (x - 2) wird dadurch (x0 - h -2). Mit dem Wissen das x0 = 2 ist vereinfacht sich die Klammer zu (2 - h0 - 2). Dahinter fehlt noch die -1 aus der Ausgangsfunktion. Alles muss in Klammer gesetzt werden da die komplette Funktion mit dem Minuszeichen davor im Vorzeichen umgedreht werden soll. Fehlt uns noch + y0 am Ende. Da y0 = -1 ist kommt diese -1 noch am Ende hinzu.

Punktsymmetrie zu einem beliebigem Punkt Beispiel 1 Lösung Teil 2

Nach der Vereinfachung sehen wir, dass wir in beiden Fällen h3 als Lösung erhalten. Dies bedeutet, dass die Funktion punktsymmetrisch zu unserem Punkt ist.


Aufgaben / Übungen Punktsymmetrie

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen bekommt ihr bei uns zunächst einige Verständnis- und Wissensfragen zur Punktsymmetrie.

  • Es geht um Punktsymmetrie zum Ursprung. Welche Koordinaten hat dieser Ursprung?
Überspringen »


Du hast 0 von 4 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Punktsymmetrie

Erklärungen und Aufgaben

Dies sehen wir uns im nächsten Video zur Symmetrie an:

  • Achsensymmetrie
  • Spiegelsymmetrie
  • Punktsymmetrie
  • Punktsymmetrie berechnen

Zu den Arten der Symmetrie gibt es

  • Erklärungen und
  • Aufgaben werden vorgerechnet.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Punktsymmetrie zu einem Punkt

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Punktsymmetrie zu einem beliebigem Punkt an.

F: Wann wird das Thema Symmetrie in der Schule behandelt?

Die Grundlagen der Symmetrie in der Mathe werden bereits in in der 3. Klasse und 4. Klasse besprochen. Darum geht es hier in diesem Artikel jedoch nicht. Wir sehen uns hier typische Untersuchungen zur Symmetrie an wie diese in der Oberstufe und im Abitur auf dem Plan stehen. Dabei werden die Gebiete und Begriffe Punktsymmetrie, Spiegelsymmetrie und Achsensymmetrie geklärt.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt
1242 Gäste online