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Bruch Ableitung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 19. Mai 2019 um 14:26 Uhr

Wie ihr die Ableitung von einem Bruch findet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, wie man Brüche ableitet.
  • Beispiele wie man die Quotientenregel anwendet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Brüche ableiten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Regeln um Funktionen abzuleiten. Bevor ihr euch die Ableitung von Brüchen anseht, solltet ihr die Potenzregel und die Produktregel kennen.

Bruch ableiten Erklärung

Die Regel um einen Bruch abzuleiten nennt sich Quotientenregel.

Hinweis:

Zur Ableitung eines Bruchs wird die Quotientenregel eingesetzt. Die verkürzte allgemeine Schreibweise für diese Ableitungsregel lautet wie folgt:

Ableitung Bruch Formel

Beispiel 1: Bruch ableiten

Wie lautet die erste Ableitung des folgendes Bruchs? Die Ableitung muss nicht vereinfacht werden.

Bruch Ableitung Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir nehmen den Bruch auseinander. Dabei setzen wir den Zähler u = 3x5 und den Nenner v = 10x - 1. Mit der Ableitungsregel Potenzregel leiten wir beides ab. Für den abgeleiteten Zähler erhalten wir u' = 3 · 5x4. Im Nenner bleibt nur die 10 übrig. Zuletzt setzen wir u, u', v und v' in die allgemeine Gleichung für die Quotientenregel ein.

Bruch Ableitung Beispiel 1 Lösung

Bruch 2. Ableitung mit Kettenregel

Sehen wir uns zwei weitere Beispiele an.

Beispiel 2: Bruch ableiten plus Kettenregel

Wie lautet die erste Ableitung der nächsten Gleichung? Das Ergebnis soll vereinfacht werden.

Ableitung Bruch Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Auch in diesem Beispiel unterteilen wir nach Zähler und Nenner. Dabei setzen wir u = 2e3x und v = x2. Die Potenz x2 ist mit der Potenzregel recht einfach abzuleiten und bringt uns v' = 2x. Bei 2e3x muss die Kettenregel für die Ableitung eingesetzt werden. Der Faktor 2 vorne bleibt erhalten. Im Anschluss muss innere Ableitung mal äußere Ableitung für die Kettenregel berechnet werden. Der Exponent (Hochzahl) mit 3x abgeleitet ergibt einfach 3 und e3x bleibt beim Ableiten erhalten. Alles wird in die allgemeine Gleichung eingesetzt. Die farbigen Markierungen helfen bei der Übersicht.

Ableitung Bruch Beispiel 2 Lösung

Die Ableitung des Bruchs haben wir berechnet. Im nächsten Schritt vereinfachen wir die Gleichung noch. Der Zähler lässt sich durch einfache Multiplikationen vereinfachen. Der Nenner ist schon etwas anspruchsvoller. Hier muss bei der Produktbildung von x2 · x2 beachtet werden, dass die beiden Hochzahlen addiert werden. Wir erhalten als neuen Exponenten 2 + 2 = 4. Wir kürzen x in Zäher und Nenner des Bruchs. Zum Schluss Klammern wir 2e3x aus.

Ableitung Bruch Beispiel 2 Lösung vereinfacht

Beispiel 3: Bruch ableiten, auch 2. Ableitung

Die folgenden Punkte sollen mit dem nächsten Bruch durchgeführt werden:

  • Die 1. Ableitung bestimmen.
  • Die 1. Ableitung vereinfachen.
  • Den letzten Bruch der 1. Ableitung raus suchen.
  • Mit diesem Bruch die 2. Ableitung berechnen.

Bruch ableiten Beispiel 3 Aufgabe

Lösung:

Wir verwenden zunächst die Quotientenregel um die erste Ableitung zu berechnen. Dazu setzen wir den Zähler u = 3x8 und den Nenner v = 2x3. Mit der Potenzregel bilden wir jeweils die Ableitung. Dabei reduziert sich jeweils der Exponent um 1. Der ursprüngliche Exponent wird jeweils mit dem Faktor davor multipliziert. In die allgemeine Formel der Quotientenregel werden alle Angaben eingesetzt (Siehe farbige Unterstreichungen). Im Anschluss vereinfachen wir Zähler und Nenner und kürzen.

Bruch ableiten Beispiel 3 Lösung

Hinweis: Es soll die 2. Ableitung mit der Quotientenregel berechnet werden. Selbstverständlich kann f'(x) = 7,5x4 auch mit der Potenzregel abgeleitet werden.

Kommen wir zur 2. Ableitung mit der Quotientenregel. Dazu nehmen wir die letzte Variante der ersten Ableitung mit f'(x) = 15x4 : 2. Wir setzen u = 15x4 und v = 2. Beides leiten wir mit der Potenzregel ab und vereinfachen im Anschluss.

Bruch ableiten Beispiel 3 Lösung

Aufgaben / Übungen Bruch Ableitung

Aufgabe 1:

Starten wir mit einer Frage bevor ihr Funktionen / Gleichungen ableiten sollt:

  • Wann setzt man die Quotientenregel ein?
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Du hast 0 von 3 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Video Bruch Ableitung

Erklärung und Beispiele

Das Video zeigt sowohl die Quotientenregel zur Ableitung von Brüchen als auch die Produktregel, welche dazu ebenfalls oftmals gebraucht wird:

  • Einsatz der Produktregel.
  • Beispiele zur Produktregel.
  • Einsatz der Quotientenregel.
  • Beispiele zur Quotientenregel.

Kurz gesagt: Die beiden Regeln werden mit Beispiel vorgestellt.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Ableitung Bruch

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Ableitung von einem Bruch an.

F: Wann werden Brüche in der Schule abgeleitet?

A: Typischerweise werden Brüche ab der 11. Klasse in der Schule abgeleitet. Die Quotientenregel wird dabei zusammen mit anderen Ableitungsregeln behandelt. Diese Regeln beschäftigten Schüler und Schülerinnen meistens in der kompletten Oberstufe und im Abitur. In zahlreichen Studiengängen kommt ebenfalls Mathematik vor inklusive Differentialrechnung.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich mir neben der Quotientenregel noch ansehen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

F: Welche Themen gibt es noch in der Oberstufe?

A: In der Oberstufe und im Abitur sind diese Themen typisch:

  • Analysis
    • Ableitung
    • Integration
  • Analytische Geometrie
  • Stochastik
    • Wahrscheinlichkeitsrechnung
    • Statistik

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