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Berechnen Extremstellen, Extrempunkt und Extremwerte

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 31. August 2019 um 14:04 Uhr

Was Extrempunkte (Extremstellen und Extremwerte) sind und wie man sie berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was Extrempunkte, Extremstellen und Extremwerte sind.
  • Beispiele wie man diese Punkte berechnet.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Extrempunkten.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Berechnung von Extrempunkten werden verschiedenen Regeln der Ableitung benötigt. Insbesondere die Potenzregel ist interessant, manchmal jedoch auch weitere Ableitungsregeln.

Extremstellen Erklärung

Nicht nur im realen Leben gibt es Hochpunkte und Tiefpunkte, sondern auch in der Mathematik. Diese bezeichnet man auch als Extrempunkte. In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Hochpunkt (auch Maximum genannt) und zwei Stellen mit einem Tiefpunkt (auch Minimum genannt).

Extrempunkt und Extremstelle Beispiele

Manchmal ist von Extrempunkt, manchmal von Extremstelle und manchmal von Extremwert die Rede. Wo liegt der Unterschied?

  • Der Extrempunkt ist ein Punkt mit x und y Angabe.
  • Die Extremstelle ist nur der x-Wert vom Extrempunkt.
  • Der Extremwert ist nur der y-Wert vom Extrempunkt.

Wie findet man Extrempunkt, Extremstelle oder Extremwert? Folgende Bedingungen sind wichtig:

  • Die erste Ableitung Null setzen, f'(x) = 0.
    • Dies liefert mögliche Extremstellen (xe genannt).
  • Die zweite Ableitung an dieser Stelle xe muss ungleich Null sein.
    • Ist f''(xe) < 0 liegt ein Hochpunkt vor.
    • Ist f''(xe) > 0 liegt ein Tiefpunkt vor.
    • Ist f''(xe) = 0 steht Überprüfung für Sattelpunkt / Wendepunkt an.
  • Die xe-Werte werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen.
  • Extrempunkt hat die Lage EP (xe / f(xe))

Im nächsten Abschnitt rechnen wir so ein Beispiel durch.

Extrempunkt / Extremstelle berechnen

Sehen wir uns einmal an wie man Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt) berechnet. Das Beispiel wird ausführlich vorgerechnet.

Beispiel 1: Extremstelle und Extrempunkt berechnen

Wo liegen die Extrempunkte der nächsten Funktion?

Extrempunkt und Extremstelle Beispiel Aufgabe

Lösung:

Wir benötigen von den Ableitungsregeln die Potenzregel um die erste Ableitung zu bilden.

Extrempunkt und Extremstelle Beispiel Lösung erste Ableitung

Im zweiten Schritt setzen diese Gleichung gleich Null, also f'(x) = 0. Wir erhalten eine quadratische Gleichung, welche wir mit der PQ-Formel lösen (Alternativ kann man auch die Mitternachtsformel verwenden). Dazu lesen wir p = 3 und q = 2 ab und setzen dies in die allgemeine Lösungsformel der PQ-Formel ein. Im Anschluss berechnen wir x1 = -1 und x2 = -2.

Extrempunkt und Extremstelle Beispiel PQ-Formel

Bei x1 = -1 und x2 = -2 liegen mögliche Extrempunkte, welche wir nun näher untersuchen möchten. Mit der Potenzregel bilden wir noch die zweite Ableitung.

Extrempunkt und Extremstelle zweite Ableitung

Um herauszufinden, ob es sich bei x1 = -1 und x2 = -2 um einen Extrempunkt handelt, setzen wir diese beiden x-Werte in f''(x) ein. Ist das Ergebnis größer als Null ist der Punkt ein Tiefpunkt. Ist das Ergebnis kleiner als Null liegt ein Hochpunkt vor.

Extrempunkt und Extremstelle Tiefpunkt und Hochpunkt

Die Rechnung zeigt, dass bei x1 = -1 ein Tiefpunkt vorliegt und bei x2 = -2 ein Hochpunkt. Wir kennen damit die x-Werte dieser Extrempunkte (also genauer gesagt kennen wir die Extremstelle). Jetzt berechnen wir noch deren y-Werte (also die Extremwerte). Dazu setzen wir x = -1 und x = -2 in die Ausgangsfunktion ein.

Tiefpunkt berechnen

Wo liegen die Extrempunkte? Der Tiefpunkt liegt bei x = -1 und y = - 5 : 3. Den Hochpunkt berechnen wir gleich noch zu x = -2 und y = - 4 : 3.

Hochpunkt berechnen

Aufgaben / Übungen Extrempunkte und Extremstellen

Aufgabe 1:

Wo liegt der Extrempunkt dieser Funktion?

Hochpunkt / Tiefpunkt Aufgabe 1 Aufgabenstellung

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Video Extremstelle und Extremwert

Beispiele und Erklärungen

Im nächsten Video geht es um Extrempunkte, Extremstellen und Extremwerte:

  • Extrempunkte, Extremstellen und Extremwerte.
  • Was ist ein Hochpunkt?
  • Was ist ein Tiefpunkt?
  • Wie sehen solche x-y-Extrempunkte aus?
  • Wie berechne ich diese Extrempunkte?
  • Aufgabe wird vorgerechnet und erklärt.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Extrempunkt und Extremstelle

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu Extrempunkten an.

F: Wie geht man vor wenn man Extrempunkte bestimmen möchte?

A: Die Vorgehensweise um Extrempunkte (mit x und y) zu berechnen ist diese:

  • Wir bilden die erste Ableitung.
  • Wir setzen die erste Ableitung gleich Null und berechnen x.
  • Wir bilden die zweite Ableitung.
  • In die zweite Ableitung setzen wir die berechneten x-Werte der ersten Ableitung ein.
    • Ist dies größer 0 liegt ein Tiefpunkt vor.
    • Ist dies kleiner 0 liegt ein Hochpunkt vor.
  • Wir setzen die berechneten x-Werte bei der ersten Ableitung in f(x) ein und berechnen den y-Wert.
    • Dadurch erhalten wir den Extrempunkt.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt

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