Polstellen einer Funktion berechnen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 17. September 2019 um 17:24 Uhr

Was Polstellen (Pole) sind und wie man diese berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

  • Eine Erklärung, was Pole in der Mathematik sind.
  • Beispiele für die Berechnung von Polstellen.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zu Nullstellen und Pole.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was ein Bruch ist und wie man Nullstellen berechnen kann. Wer davon noch keine Ahnung hat, sollte dies bitte nachlesen. Ansonsten ran an Pole und Polstellen.


Polstellen einfach erklärt

Was versteht man unter einem Pol / einer Polstelle in der Mathematik?

Hinweis:

In der Mathematik der Schule versteht man unter einem Pol bzw. einer Polstelle die Nullstellen eines Nenners. Gleichzeitig darf an dieser Stelle keine Nullstelle des Zählers vorliegen.

Eine ganzrationale Funktion hat keine Pole, denn diese weist keinen Nenner auf. Zwei Beispiel für ganzrationale Funktionen:

Ganzrationale Funktion ohne Pol / Polstellen

Ganzrationale Funktion Beispiel 2 ohne Pol / Polstelle

Gebrochenrationale Funktionen sollten hingegen auf Polstellen untersucht werden. Bei solchen Funktionen haben wir einen Nenner mit einer Variablen x. Daher ist zu überprüfen, ob solch ein Nenner Null werden kann. Gebrochenrationale Funktionen sind zum Beispiel diese:

Beispiel für gebrochenrationale Funktion

Strategie um Polstellen zu finden:

  • Nullstellen des Nenners berechnen.
  • Nullstellen des Zählers berechnen.
  • Die gefundenen Nullstellen gegeneinander kürzen.
  • Verbleibende Nullstellen im Nenner sind Pole.




Polstellen berechnen Beispiele

In diesem Abschnitt sehen wir uns Beispiele zum Berechnen von Polstellen an.

Beispiel 1: Sichere Polstellen

Wo liegen die Polstellen bei dieser gebrochenrationalen Funktion?

Pole / Polstelle Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

  • Bei diesem einfachen Beispiel muss man gar nicht lange rechnen:
    • Setzt man für x die Zahl 0 ein wird der Nenner 0.
    • Setzt man für x die Zahl -2 ein wird die Klammer und damit der Nenner 0.
  • Es gibt keine Nullstellen im Zähler.
  • Daher sind die Pole bei x1 = 0 und x2 = -2.
  • Bei x1 = 0 und x2 = -2 wird der Nenner 0. Durch 0 darf nicht geteilt werden. Daher sind diese Stellen auch die Definitionslücken der Funktion.

Pole / Polstellen Beispiel 1 Lösung

Beispiel 2:

Finde die Polstellen der folgenden Funktion.

Pole / Polstellen Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Um die Funktion auf Pole zu untersuchen beginnen wir mit dem Nenner. Diesen setzen wir = 0. Zur Lösung der quadratischen Gleichung verwenden wir die PQ-Formel und erhalten die Nullstellen des Nenners bei x1 = -1 und x2 = -2.

Pole / Polstellen Beispiel 2 Lösung Teil 1 mit PQ-Formel

Mit diesem Wissen können wir den Nenner umwandeln. Dabei spricht man von einer Zerlegung in Linearfaktoren. Wir setzen dazu Klammern in den Nenner, die 0 werden, wenn x = -1 oder x = -2 eingesetzt werden. Tut man dies, sollte man sehen, dass (x + 1) in Zähler und Nenner vorkommen und raus gekürzt werden können. Es bleibt ein Zähler nur mit der Zahl 2 übrig wodurch der Zähler nicht 0 werden kann. Der Nenner kann noch Null werden wenn x = -2 wird, daher ist dies die Polstelle.

Pole / Polstellen Beispiel 2 Lösung Teil 2 Linearfaktoren


Aufgaben / Übungen Pole

Aufgabe 1:

  • Wo liegt die Polstelle dieser Funktion?

Pol Aufgabe 1

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Video Pole / Nullstellen

Hebbare Definitionslücken

In diesem Artikel haben wir über Nullstellen und Polstellen gesprochen. Dabei wurde auch gezeigt, dass wenn Nullstellen in Zähler und Nenner gleichermaßen vorkommen, man diese kürzen kann. Auf diese Art und Weise kann man eine Definitionslücke beseitigen und den Definitionsbereich erweitern. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer hebbaren Definitionslücke. Wie genau dies funktioniert könnt ihr euch im nächsten Video noch einmal zeigen lassen.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten Polstellen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu Polstellen an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Mit Polen bzw. Polstellen befassen sich Schüler und Schülerinnen in der 10. Klasse oder 11. Klasse. Das Thema bleibt im Mathematik-Unterricht jedoch erhalten und kommt weiterhin in der Oberstufe vor und ist Teil im Abitur. Oft werden die Polstellen im Zuge der Kurvendiskussion mitbehandelt.

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt
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