Verhalten im Unendlichen: Ganzrationale Funktion

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 15. September 2019 um 18:27 Uhr

Das Verhalten im Unendlichen für ganzrationale Funktionen sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

  • Eine Erklärung, was man unter dem Verhalten im Unendlichen versteht.
  • Beispiele für die Berechnung dieser Grenzwerte.
  • Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
  • Ein Video zum Verhalten im Unendlichen.
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wir sehen uns hier das Verhalten im Unendlichen für ganzrationale Funktionen an. Wer dies etwas allgemeiner benötigt sieht in die Übersicht rein unter Verhalten im Unendlichen.


Ganzrationale Funktion Beispiel 1

Was versteht man unter der Untersuchung von ganzrationalen Funktionen im Unendlichen?

Hinweis:

In der Kurvendiskussion interessiert man sich sehr oft für bestimmte Grenzwerte. Dafür untersucht man zum Beispiel, wie sich ganzrationale Funktionen verhalten, wenn ganz große oder ganz kleine Zahlen eingesetzt werden.

In vielen Fällen reicht ein geübter Blick auf die Funktion, um das Verhalten im Unendlichen zu ermitteln. Alternativ gibt es für einige Fälle Rechenregeln für die Bestimmung oder man kann sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen.

Beispiel 1: Verhalten im Unendlichen

Nehmen wir die ganzrationale Funktion f(x) = 3x2 -7x. Wie sieht deren Verhalten gegen plus unendlich und minus unendlich aus?

Lösung:

Bei ganzrationalen Zahlen sieht man sich den Ausdruck mit der höchsten Potenz an. In unserem Fall 3x2. Denn der Ausdruck mit der höchsten Potenz steigt am schnellsten oder fällt am schnellsten wenn sehr große oder sehr kleine Zahlen eingesetzt werden. Dies bedeutet, dass wenn man für x immer größeren Zahlen einsetzt (10, 100, 1000 etc.) das Ergebnis immer größer wird. Setzen wir immer kleinere Zahlen ein (-10, -100, -1000, etc.) passiert dies auch, denn durch hoch 2 (quadrieren) fliegt das Minuszeichen raus. Unter dem Strich kommt plus unendlich in beiden Fällen raus.

Verhalten im Unendlichen Beispiel 1 ganzrationale Funktion




Ganzrationale Funktion Beispiele

Wer bei Funktionen Probleme hat zu sehen, wie das Verhalten im Unendlichen ist, der kann einfach einmal Zahlen einsetzen. Nehmen wir dazu noch einmal unser Beispiel von oben.

Beispiel 1 mit Zahlen:

Wir nehmen erneut f(x) = 3x2 - 7x. In die Funktion setzen wir x = 100 ein und x = 1000. Wie man an den Ergebnissen von 29300 und 2993000 sehen kann, wächst das Ergebnis mit steigendem x stark an. Dies würde auch passieren, wenn man -100 oder -1000 einsetzen würde.

Verhalten im Unendlichen ganzrationale Funktion Beispiel 1 Lösung mit Zahlen positiv

Beispiel 2 ganzrationale Funktion:

Wie sieht das Verhalten der Funktion f(x) = -2x3 +2x2 gegen plus unendlich und minus unendlich aus?

Lösung:

Wie auch bei anderen ganzrationalen Funktionen werfen wir einen Blick auf die höchste Potenz, in diesem Fall -2x3. Setzen wir für x große Zahlen ein wächst x3 stark an. Das Minuszeichen am Anfang sorgt jedoch dafür das alle Zahlen negativ werden, daher geht das Ergebnis gegen minus unendlich. Setzen wir hingegen negative Zahlen ein dreht sich das Verhalten um. Beispiel -2 · (-10)(-10)(-10) = -2 · (-1000) = + 2000. Das heißt das Ergebnis wächst positiv ins Unendliche.

Verhalten im Unendlichen ganzrationale Funktion Beispiel 2


Aufgaben / Übungen Verhalten im Unendlichen

Aufgabe 1:

  • Wie sieht das Verhalten der folgenden Funktion gegen plus unendlich aus?

Verhalten im Unendlichen Aufgabe 1

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Video Verhalten im Unendlichen

Beispiele und Erklärungen

Im nächsten Video wird das Verhalten von Funktionen bzw. Gleichungen gegen plus und minus unendlich behandelt, also den Grenzwert. Zum besseren Verstehen werden dazu auch sehr große und sehr kleine Zahlen in die Funktionen eingesetzt. Außerdem werden Beispiele vorgerechnet.


Nächstes Video »

Fragen mit Antworten: Verhalten im Unendlichen für ganzrationale Funktionen

In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zum Verhalten im Unendlichen für ganzrationale Funktionen an.

F: Welche Themen sollte ich zum Verhalten im Unendlichen kennen?

A: Diese Themen solltet ihr lernen, falls noch nicht geschehen:

F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen?

A: Wir arbeiten aktuell an diesen Gebieten und verlinken diese hier sobald verfügbar.

  • Ableitungsregeln
  • Konstante ableiten
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Differenzregel
  • Kettenregel
  • Erste Ableitung
  • Zweite Ableitung
  • Dritte Ableitung
  • Hochpunkt
  • Tiefpunkt
  • Sattelpunkt
  • Wendepunkt
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